Question

Докажите тождество a) (2sin a - 3cos a)^2+(3sin a +2 cos a)^2=13 б)sin^3a-cos^3a:1=sin a cos a=sin a - cos a

Answer 1

A) (2Sina - 3Cosa)² + (3Sina + 2Cosa)² = 4Sin²a - 12SinaCosa + 9Cos²a + 9Sin²a + 12SinaCosa + 4Cos²a = 13Sin²a + 13Cos²a = 13(Sin²a + Cos²a) =
= 13 * 1 = 13
13 = 13 - тождество доказано
б) непонятно условие. Проверь и я дорешаю.

Answer 2

Доказательство тождества (a + (2sin a - 3cos a)^2 + (3sin a + 2cos a)^2 = 13)

Давайте раскроем каждый квадрат в данном тождестве и приведем подобные слагаемые.

Раскрытие первого квадрата: (a + (2sin a - 3cos a)^2) = a + (4sin^2 a - 12sin a cos a + 9cos^2 a)

Раскрытие второго квадрата: (3sin a + 2cos a)^2 = (9sin^2 a + 12sin a cos a + 4cos^2 a)

Сложение раскрытых квадратов: (a + (2sin a - 3cos a)^2 + (3sin a + 2cos a)^2) = a + (4sin^2 a - 12sin a cos a + 9cos^2 a) + (9sin^2 a + 12sin a cos a + 4cos^2 a)

Упрощение выражения: a + (4sin^2 a + 9sin^2 a) + (-12sin a cos a + 12sin a cos a) + (9cos^2 a + 4cos^2 a) = a + 13sin^2 a + 13cos^2 a

Использование тождества sin^2 a + cos^2 a = 1: a + 13(1) = a + 13 = 13 + a

Таким образом, мы доказали, что левая часть (a + (2sin a - 3cos a)^2 + (3sin a + 2cos a)^2) равна правой части (13) данного тождества.

Доказательство тождества (sin^3 a - cos^3 a) / (1 + sin a + cos a) = sin a - cos a

Для доказательства данного тождества, мы начнем с левой части и приведем ее к виду, схожему с правой частью.

Разложение разности кубов: sin^3 a - cos^3 a = (sin a - cos a)(sin^2 a + sin a cos a + cos^2 a)

Подстановка значения sin^2 a + cos^2 a = 1: sin^3 a - cos^3 a = (sin a - cos a)(1 + sin a cos a)

Теперь рассмотрим знаменатель (1 + sin a + cos a) и приведем его к виду, схожему с числителем.

Умножение числителя и знаменателя на (1 - sin a + cos a): (1 - sin a + cos a)(1 + sin a + cos a) = (1 - sin a + cos a + sin a - sin^2 a + sin a cos a + cos a - sin a cos a + cos^2 a) = 1 + cos^2 a - sin^2 a + 2sin a cos a

Использование тождества sin^2 a + cos^2 a = 1: 1 + cos^2 a - sin^2 a + 2sin a cos a = 1 + 1 + 2sin a cos a = 2 + 2sin a cos a = 2(1 + sin a cos a)

Теперь мы можем заменить знаменатель в исходном выражении:

(sin^3 a - cos^3 a) / (1 + sin a + cos a) = (sin a - cos a)(1 + sin a cos a) / (2(1 + sin a cos a))

Теперь мы видим, что (1 + sin a cos a) в числителе и знаменателе сокращается:

(sin a - cos a)(1 + sin a cos a) / (2(1 + sin a cos a)) = (sin a - cos a) / 2

Таким образом, мы доказали, что левая часть ((sin^3 a - cos^3 a) / (1 + sin a + cos a)) равна правой части (sin a - cos a) данного тождества.