Question

Срочно, помогите пожалуйста решить!!! 2sin²x-cosx-1=0 Укажите корни принадлежащие отрезку [3π; 4π]

Answer 1

Решение
2sin²x-cosx-1=0
Укажите корни принадлежащие отрезку [3π; 4π]
2*(1 - cos^2x) - cosx - 1 = 0
2 - 2cos^2x - cosx - 1 = 0
2cos^2x + cosx - 1 = 0
D = 1 + 4*2*1 = 9
cosx = (-1 - 3) /4 = -1
cosx  = - 1
x = π + 2πk, k∈Z 
cosx = (-1 + 3) / 4 = 1/2
cosx = 1/2
x = (+ -) arccos(1/2) + 2πn, n∈Z
x =( + -)π/3 + 2πn, n∈Z не принадлежит отрезку [3π; 4π]
Ответ: x = π + 2πk, k∈Z 

Answer 2

Для решения уравнения 2sin²x - cosx - 1 = 0 на отрезке [3π, 4π], мы можем использовать метод подстановки.

Пусть t = sin(x), тогда sin²x = t².

Подставляем это в уравнение: 2t² - cosx - 1 = 0.

Теперь заменяем cosx через sinx, используя тригонометрическое тождество cos²x + sin²x = 1: 2t² - √(1 - t²) - 1 = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно t.

2t² - √(1 - t²) = 1.

Возводим оба выражения в квадрат: 4t⁴ - 4t²(1 - t²) + (1 - t²) = 1.

Упрощаем: 4t⁴ - 4t² + 4t⁴ - 1 + t² = 0, 8t⁴ - 5t² - 1 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно t².

Решаем его с помощью квадратного корня: t² = (5 ± √(25 + 32)) / 16, t² = (5 ± √57) / 16.

Так как t = sin(x), мы можем найти значения x, используя обратные функции синуса:

x = arcsin((5 ± √57) / 16).

Теперь проверяем, какие из найденных значений x принадлежат отрезку [3π, 4π].

Если полученные значения x принадлежат этому отрезку, то они являются корнями уравнения.