Question

Показать, что последовательность a(n)=(9n+2)/(9n−1) имеет пределом число 1

Answer 1

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ

Answer 2

Для того чтобы показать, что последовательность a(n) = (9n+2)/(9n-1) имеет пределом число 1, мы можем использовать определение предела последовательности.

Определение предела последовательности

Последовательность a(n) имеет пределом число L, если для любого положительного числа ε существует такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство |a(n) - L| < ε.

Доказательство

Для данной последовательности a(n) = (9n+2)/(9n-1) мы хотим показать, что пределом является число 1.

Для любого положительного числа ε, мы должны найти такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство |a(n) - 1| < ε.

Давайте найдем такое N.

Рассмотрим выражение |a(n) - 1|: |a(n) - 1| = |(9n+2)/(9n-1) - 1|

Упростим это выражение: |(9n+2)/(9n-1) - 1| = |(9n+2 - (9n-1))/(9n-1)| = |3/(9n-1)| = 3/(9n-1)

Теперь нам нужно найти такое N, чтобы 3/(9n-1) < ε для всех n > N.

Для этого мы можем решить неравенство: 3/(9n-1) < ε

Упростим его: 3 < ε(9n-1)

Теперь давайте решим это неравенство относительно n: 9n-1 > 3/ε 9n > 1 + 3/ε n > (1 + 3/ε)/9

Таким образом, мы можем выбрать N = ceil((1 + 3/ε)/9), где ceil(x) - это наименьшее целое число, большее или равное x.

Теперь мы можем утверждать, что для всех n > N выполняется неравенство |a(n) - 1| < ε.

Заключение

Мы доказали, что последовательность a(n) = (9n+2)/(9n-1) имеет пределом число 1, используя определение предела последовательности и найдя соответствующее натуральное число N.