Question

Докажите,что число 999...99(666штук) делится на 13.

Answer 1

Приведу пример попроще.
Число 99 делится на 33, 9999 тоже делится на 33, 999999 тоже делится на 33
Сколько бы много чисел не было в числе, оно делится на какое то число, если делится на него последние цифры числа (количество цифр зависит от делителя) и если делимое число состоит из кратного количества цифр от минимального делимого. Т.Е. 99 (состоит из двух цифр) это минимальное делимое которое делится на 33, отсюда количество цифр в большем числе должно быть кратно 2, т.е. 9999, 999999, 99999999 а не 999, или 99999
Так же и в нашем примере, найдем минимальное число, которое делится на 13 и состоит из девяток. это число 999999 - состоит из шести цифр. 

Теперь на 13 будут делится все числа состоящие из девяток, количество цифр в которых кратно 6, т.е. 999999999999 (12 цифр), 999999999999999999 (18 цифр) и т.д. а также наше число состоящее из 666 цифр, потому что количество цифр кратно 6
666/6 = 111

Answer 2

Чтобы доказать, что число, состоящее из 666 девяток (999...99), делится на 13, мы можем воспользоваться свойством делимости на 13.

Свойство делимости на 13:

Если число делится на 13, то разность суммы его цифр на нечетных позициях и суммы его цифр на четных позициях также делится на 13.

Применение свойства:

Давайте посмотрим на число 999...99, которое состоит из 666 девяток. Разделим это число на группы по две цифры, начиная с самой правой позиции:

99, 99, ..., 99 (333 группы)

Теперь посчитаем сумму цифр на нечетных позициях (позиции 1, 3, 5 и т.д.) и сумму цифр на четных позициях (позиции 2, 4, 6 и т.д.).

Сумма цифр на нечетных позициях = 9 + 9 + ... + 9 (333 группы) = 9 * 333 = 2997 Сумма цифр на четных позициях = 9 + 9 + ... + 9 (333 группы) = 9 * 333 = 2997

Обе суммы равны 2997.

Проверка делимости на 13:

Теперь вычтем из суммы цифр на нечетных позициях сумму цифр на четных позициях:

2997 - 2997 = 0

Результат равен 0. Это означает, что число 999...99 делится на 13, так как разность суммы цифр на нечетных и четных позициях равна 0.

Вывод:

Таким образом, мы доказали, что число, состоящее из 666 девяток (999...99), делится на 13.