Question

Найдите сумму первых пятидесяти, ста, n членов арифметической прогрессии (xn) если xn=2n+3

Answer 1

X₁ =2 + 3 = 5
x₅₀ = 2*50 + 3 = 103
S₅₀ = (x₁ + x₅₀)/2 * 50 = (x₁ + x₅₀)*25 = 108 * 25 = 2700

Answer 2

Для решения данной задачи нам дано, что n-ый член арифметической прогрессии обозначается как xn и равен 2n + 3. Нам нужно найти сумму первых пятидесяти, ста и n членов этой прогрессии.

Нахождение формулы общего члена арифметической прогрессии

Перед тем как найти сумму членов прогрессии, давайте сначала найдем формулу общего члена арифметической прогрессии. Общий член арифметической прогрессии можно выразить следующей формулой:

xn = a + (n - 1)d

где xn - n-ый член прогрессии, a - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии, d - разность между соседними членами прогрессии.

Нахождение первого члена и разности

Из данного нам уравнения xn = 2n + 3 мы можем сравнить его с формулой общего члена арифметической прогрессии и найти соответствующие значения a и d.

Сравнивая коэффициенты, мы видим, что:

a = 3 d = 2

Таким образом, первый член прогрессии (a) равен 3, а разность между соседними членами (d) равна 2.

Нахождение суммы первых пятидесяти членов

Для нахождения суммы первых пятидесяти членов арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Sn = (n/2)(2a + (n - 1)d)

где Sn - сумма первых n членов прогрессии.

Подставляя значения a, d и n = 50 в данную формулу, мы можем найти сумму первых пятидесяти членов:

S50 = (50/2)(2*3 + (50 - 1)*2)

Выполняя вычисления, получаем:

S50 = 25(6 + 49*2) = 25(6 + 98) = 25(104) = 2600

Таким образом, сумма первых пятидесяти членов арифметической прогрессии равна 2600.

Нахождение суммы первых ста членов

Аналогично, мы можем найти сумму первых ста членов арифметической прогрессии, подставив n = 100 в формулу для суммы:

S100 = (100/2)(2*3 + (100 - 1)*2)

Выполняя вычисления, получаем:

S100 = 50(6 + 99*2) = 50(6 + 198) = 50(204) = 10200

Таким образом, сумма первых ста членов арифметической прогрессии равна 10200.

Нахождение суммы первых n членов

Наконец, если мы хотим найти сумму первых n членов арифметической прогрессии, мы можем использовать ту же формулу для суммы, заменив n значением, которое нам задано.

Sn = (n/2)(2a + (n - 1)d)

Где a = 3 и d = 2.

Например, если нам нужно найти сумму первых 10 членов прогрессии, мы можем подставить n = 10 в формулу:

S10 = (10/2)(2*3 + (10 - 1)*2)

Выполняя вычисления, получаем:

S10 = 5(6 + 9*2) = 5(6 + 18) = 5(24) = 120

Таким образом, сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 120.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.