Question

(1-sin^2x)(vctg^2x-1)=0 [-pi;pi\2] v - корень*

Answer 1

(1-sin²x)(√(ctg^2x-1))=0

ОДЗ: сtg²x-1≥0  ⇒(ctgx-1)(ctgx+1)≥0  ⇒  ctgx ≤-1  или  сtgx≥1
x∈(πk; (π/4)+πk)U(3π/4+πn,π+πn), k,n∈Z
cм. рисунок.

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет смысла.
1-sin²x=0                    или                √(сtg²x-1)=0;
sinx=1 или sinx=-1     или         ctgx=-1     или    ctgx=1
корни не входят в ОДЗ           х=-π/4+πm       x=π/4+πs, m,s∈Z
см. рисунок
О т в е т. х=-π/4+πm       x=π/4+πs, m,s∈Z

Answer 2

Для начала, рассмотрим уравнение (1-sin^2x)(vctg^2x-1)=0.

Мы можем раскрыть скобки, используя формулы тригонометрии:

(1-sin^2x)(vctg^2x-1)=0

(sin^2x - sin^4x)(vctg^2x-1)=0

Теперь мы можем разделить уравнение на две части:

sin^2x - sin^4x = 0 или vctg^2x-1 = 0

Рассмотрим первую часть уравнения: sin^2x - sin^4x = 0

Мы можем вынести sin^2x за скобки:

sin^2x(1 - sin^2x) = 0

Теперь у нас есть два возможных случая:

1) sin^2x = 0

Это означает, что sinx = 0. Такие значения x можно найти при x = 0, x = pi и x = -pi.

2) 1 - sin^2x = 0

Мы можем решить это уравнение, выразив sin^2x:

sin^2x = 1

Это означает, что sinx = 1 или sinx = -1. Такие значения x можно найти при x = pi/2 и x = -pi/2.

Теперь рассмотрим вторую часть уравнения: vctg^2x-1 = 0

Мы можем добавить 1 к обеим сторонам уравнения:

vctg^2x = 1

Теперь возможные значения x можно найти при x = pi/4 и x = -pi/4.

Итак, решениями исходного уравнения (1-sin^2x)(vctg^2x-1)=0 на интервале [-pi, pi/2] являются x = 0, x = pi, x = -pi, x = pi/2, x = -pi/2, x = pi/4 и x = -pi/4.