Question

Треугольник задан вершинами: А(5;6), В(0;-6), С(3;-10). Найдите: 1) уравнение прямой ВN, параллельной стороне АС; 2) уравнение медианы СD; 3) уравнение высоты АЕ; 4) угол В.

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать различные свойства и формулы, связанные с треугольниками.

1) Уравнение прямой BN, параллельной стороне AC:

Для нахождения уравнения прямой BN, параллельной стороне AC, нам понадобится найти угловой коэффициент этой прямой и используя одну из точек прямой, получить уравнение прямой в форме y = mx + b, где m - угловой коэффициент, b - коэффициент при свободном члене.

Для начала найдем угловой коэффициент прямой AC. Угловой коэффициент прямой можно найти, используя точки А(5, 6) и С(3, -10). Формула для нахождения углового коэффициента (m) между двумя точками A(x1, y1) и B(x2, y2) выглядит следующим образом:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Подставив значения координат точек А и С, получим:

m = (-10 - 6) / (3 - 5) = -16 / -2 = 8

Таким образом, угловой коэффициент прямой AC равен 8.

Теперь, чтобы найти уравнение прямой BN, параллельной стороне AC, мы используем точку В(0, -6) и угловой коэффициент 8. Подставим значения в уравнение прямой:

y = mx + b

-6 = 8 * 0 + b

b = -6

Таким образом, уравнение прямой BN, параллельной стороне AC, будет иметь вид:

y = 8x - 6

2) Уравнение медианы CD:

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Чтобы найти уравнение медианы CD, нам нужно найти середину стороны AB и использовать формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки.

Сначала найдем середину стороны AB. Формула для нахождения середины отрезка между двуми точками A(x1, y1) и B(x2, y2) выглядит следующим образом:

x = (x1 + x2) / 2

y = (y1 + y2) / 2

Подставив значения координат точек A(5, 6) и B(0, -6), получим:

x = (5 + 0) / 2 = 5/2 = 2.5

y = (6 + (-6)) / 2 = 0 / 2 = 0

Таким образом, середина стороны AB имеет координаты (2.5, 0).

Теперь, чтобы найти уравнение медианы CD, мы используем точку C(3, -10) и середину стороны AB (2.5, 0). Подставим значения в уравнение прямой:

y = mx + b

Для нахождения углового коэффициента (m), используем точки C(3, -10) и середину стороны AB (2.5, 0):

m = (-10 - 0) / (3 - 2.5) = -10 / 0.5 = -20

Теперь используем формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку C(3, -10) и углового коэффициента -20:

y = -20x + b

Подставим координаты точки C(3, -10):

-10 = -20 * 3 + b

b = -10 + 60 = 50

Таким образом, уравнение медианы CD будет иметь вид:

y = -20x + 50

3) Уравнение высоты AE:

Высота треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной и перпендикулярный этой стороне. Чтобы найти уравнение высоты AE, нам нужно найти угловой коэффициент стороны BC и использовать его для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной стороне BC.

Для начала найдем угловой коэффициент стороны BC. Угловой коэффициент прямой можно найти, используя точки B(0, -6) и C(3, -10):

m = (-10 - (-6)) / (3 - 0) = -4 / 3

Таким образом, угловой коэффициент стороны BC равен -4/3.

Чтобы найти уравнение высоты AE, мы используем точку A(5, 6) и угловой коэффициент -4/3. Перпендикулярный угловой коэффициенту прямой имеет противоположный знак и обратную величину:

m_perpendicular = -1 / m = -1 / (-4/3) = 3/4

Теперь используем формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку A(5, 6) и углового коэффициента 3/4:

y = mx + b

Подставим координаты точки A(5, 6):

6 = (3/4) * 5 + b

6 = 15/4 + b

b = 6 - 15/4 = 24/4 - 15/4 = 9/4

Таким образом, уравнение высоты AE будет иметь вид:

y = (3/4)x + 9/4

4) Угол В:

Угол B - это угол между сторонами AB и BC треугольника ABC. Чтобы найти угол B, мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

cos θ = (a · b) / (|a| * |b|)

где a и b - векторы, |a| и |b| - их длины.

Для нахождения угла B, мы можем использовать вектора AB и BC, где AB = (x2 - x1, y2 - y1) и BC = (x3 - x2, y3 - y2). Подставим координаты точек A(5, 6), B(0, -6) и C(3, -10):

AB = (0 - 5, -6 - 6) = (-5, -12)

BC = (3 - 0, -10 - (-6)) = (3, -4)

Теперь вычислим длины векторов AB и BC:

|AB| = √((-5)^2 + (-12)^2) = √(