Question

Найти множество значений функцииy=sinx-5cosxy=1-8cos^2 x sin^2 xДоказать ограниченность функцииy=cosx/1,5-sinx

Answer 1

y=1-8cos^2xsin^2x=1-2(sin2x)^2

0<=sin2x^2<=1

-1<=y<1

(2sinxcosx)^2=4sin^2xcos^2x

функция cosx и sinx - ограниченые функции.

1,5-sinx -ограничена и в 0 не обращается

следовательно и их частное ограниченая функция.

-1=<сosx<=1

-5<=5cosx<=5

sinx=-1  cosx=0  y=-1

sinx=1   cosx=0   y=1

sinx=0   cosx=1   y=0-5=-5

             cosx=-1  y=5

множество значений [-5;5]

Answer 2

Для начала рассмотрим уравнение y = sin(x) - 5cos(x)y = 1 - 8cos^2(x) + sin^2(x) и найдем его решения.

Заметим, что в уравнении есть выражение 1 - 8cos^2(x) + sin^2(x). Мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x) согласно тригонометрическому тождеству.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде: y = sin(x) - 5cos(x)y = 1 - 8cos^2(x) + 1 - cos^2(x).

Объединяя подобные слагаемые, получаем: y = sin(x) - 6cos^2(x) + 2.

Далее, заметим, что cos^2(x) = 1 - sin^2(x) согласно тригонометрическому тождеству.

Подставляем это выражение в уравнение: y = sin(x) - 6(1 - sin^2(x)) + 2.

Раскрываем скобки и упрощаем выражение: y = sin(x) - 6 + 6sin^2(x) + 2.

Получаем квадратное уравнение относительно sin(x): 6sin^2(x) + sin(x) - 4 = 0.

Решая это уравнение, мы найдем значения sin(x), которые удовлетворяют исходному уравнению.

После нахождения значений sin(x), подставляем их в уравнение y = sin(x) - 6cos^2(x) + 2, чтобы получить соответствующие значения y.

Теперь рассмотрим функцию y = cos(x)/(1,5 - sin(x)) и докажем ее ограниченность.

Для начала заметим, что знаменатель функции не может быть равен нулю, так как в таком случае функция не будет определена.

Исследуем функцию на ограниченность в интервале [-π/2, π/2], так как sin(x) принимает значения от -1 до 1 в этом интервале.

Предположим, что функция неограничена. Тогда для любого M существует x, такое что |cos(x)/(1,5 - sin(x))| > M.

Рассмотрим случай, когда sin(x) = 1,5. В этом случае знаменатель равен 0, а значит функция не определена. Противоречие.

Таким образом, функция ограничена в интервале [-π/2, π/2].