Question

6 sin x cos x - 4cos x +3 sin x -2=0

Answer 1

2cosx(3sinx-2)+(3sinx-2)=0

(3sinx-2)(2cosx+1)=0

sinx=2/3            cosx=-1/2

x=+-arcsin(2/3)+2Пk

x=+-2П/3+2Пk

Answer 2

Дано уравнение: 6sin(x) + cos(x) - 4cos(x) + 3sin(x) - 2 = 0.

Чтобы решить данное уравнение, мы можем использовать различные алгебраические и тригонометрические техники. Давайте попробуем решить его поэтапно:

Шаг 1: Объединим подобные тригонометрические функции. В данном случае, у нас есть два слагаемых, содержащих sin(x), и два слагаемых, содержащих cos(x). Мы можем объединить их вместе:

(6sin(x) + 3sin(x)) + (cos(x) - 4cos(x)) - 2 = 0.

Теперь у нас получилось:

9sin(x) - 3cos(x) - 2 = 0.

Шаг 2: Разложим тригонометрические функции в их составляющие части. То есть, заменим sin(x) и cos(x) на их эквивалентные выражения:

(9 * sin(x)) - (3 * cos(x)) - 2 = 0.

Шаг 3: Распишем sin(x) и cos(x) в терминах sin и cos угла суммы:

(9 * sin(x)) - (3 * cos(x)) - 2 = 0. (9 * (sin(x) / cos(x))) - (3 * (1 / cos(x))) - 2 = 0. (9 * (sin(x) / cos(x))) - (3 / cos(x)) - 2 = 0.

Шаг 4: Объединим дроби с общим знаменателем:

((9 * sin(x)) - 3 - (2 * cos(x))) / cos(x) = 0.

Шаг 5: Упростим выражение:

9sin(x) - 3 - 2cos(x) = 0.

Шаг 6: Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

9sin(x) - 2cos(x) = 3.

Шаг 7: Теперь мы можем использовать тригонометрические идентичности, чтобы привести уравнение к более удобному виду. Например, мы можем использовать идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

9(1 - cos^2(x)) - 2cos(x) = 3.

Шаг 8: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

9 - 9cos^2(x) - 2cos(x) = 3.

Шаг 9: Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

9cos^2(x) + 2cos(x) - 6 = 0.

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно cos(x). Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение, факторизацию или квадратное уравнение.

Шаг 10: Решим квадратное уравнение:

Для удобства, заменим cos(x) на y:

9y^2 + 2y - 6 = 0.

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение, факторизацию или квадратное уравнение, или формулу дискриминанта.

Шаг 11: Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

Для уравнения вида ay^2 + by + c = 0, дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 9, b = 2 и c = -6. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (2)^2 - 4(9)(-6) = 4 + 216 = 220.

Дискриминант D равен 220.

Шаг 12: Определим значения y, используя формулу квадратного уравнения:

y = (-b ± √D) / (2a).

y = (-2 ± √220) / (2 * 9).

y = (-2 ± √220) / 18.

Теперь у нас есть два возможных значения для y.

Шаг 13: Решим полученные значения для y:

y1 = (-2 + √220) / 18. y2 = (-2 - √220) / 18.

Шаг 14: Вернемся к исходному уравнению и найдем значения cos(x) для каждого значения y:

cos(x) = y.

Шаг 15: Найдем значения x, используя обратные тригонометрические функции:

x = arccos(cos(x)).

Теперь у нас есть значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению.

Обратите внимание, что в данном уравнении может быть бесконечное количество решений в виде периодических функций. Чтобы найти все решения, необходимо учесть периодичность функций sin(x) и cos(x).