Question

Решите уравнение: а) √3/2cos x-1/2 sin x=1 б)√3 cos x-sin x=1 Докажите тождество: sin(30-a)-cos(60-a)=-√3sina

Answer 1

1)cosπ/6cosx-sinπ/6sinx=1
cos(x+π/6)=1
x+π/6=2πn
x=-π/6+2πn
2)2(√3/2cosx-1/2sinx)=1
2(cosπ/6cosx-sinπ/6sinx)=1
cos(x+π/6)=1/2
x+π/6=-π/3+2πn U x+π/6=π/3+2πn
x=-π/2+2πn U x=π/6+2πn
3)sin(30-a)-cos(60-a)=sin30cosa-cos30sina-cos60cosa-sin60sina=
=1/2cosa-√3/2sina-1/2cosa-√3/2sina=-√3sina
-√3sina=-√3sina

Answer 2

Решение уравнения а) √3/2cos(x) - 1/2 + sin(x) = 1

Для решения данного уравнения мы можем использовать тригонометрические тождества. Давайте посмотрим, как мы можем привести данное уравнение к более простому виду.

Сначала заметим, что √3/2cos(x) - 1/2 + sin(x) можно переписать в виде √3/2cos(x) + sin(x) - 1/2.

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b). Применим его к нашему уравнению:

√3/2cos(x) + sin(x) - 1/2 = 1

Раскроем sin(x + 30°):

sin(x + 30°) = sin(x)cos(30°) + cos(x)sin(30°)

Учитывая, что cos(30°) = √3/2 и sin(30°) = 1/2, можем переписать:

sin(x + 30°) = √3/2sin(x) + 1/2cos(x)

Теперь перепишем наше уравнение с использованием этого тождества:

√3/2sin(x) + 1/2cos(x) - 1/2 = 1

Теперь объединим коэффициенты при sin(x) и cos(x):

√3/2sin(x) + 1/2cos(x) - 1/2 = 1

√3/2sin(x) + 1/2cos(x) = 3/2

Теперь воспользуемся еще одним тригонометрическим тождеством, а именно sin^2(a) + cos^2(a) = 1. Применим его к нашему уравнению:

(√3/2sin(x))^2 + (1/2cos(x))^2 = (3/2)^2

3/4sin^2(x) + 1/4cos^2(x) = 9/4

Теперь можем привести наше уравнение к более простому виду:

3sin^2(x) + cos^2(x) = 9

Теперь заметим, что 3sin^2(x) + cos^2(x) может быть записано как (2sin(x))^2 + cos^2(x). Используя еще одно тригонометрическое тождество, а именно sin^2(a) + cos^2(a) = 1, можем переписать:

(2sin(x))^2 + cos^2(x) = 9

4sin^2(x) + cos^2(x) = 9

Теперь можем записать наше уравнение в форме квадратного тригонометрического тождества:

(2sin(x))^2 + (cos(x))^2 = (3)^2

Отсюда получаем, что:

sin^2(x) + cos^2(x) = 9/4

Таким образом, уравнение √3/2cos(x) - 1/2 + sin(x) = 1 сводится к тождеству sin^2(x) + cos^2(x) = 9/4.

Решение уравнения б) √3cos(x) - sin(x) = 1

Для решения данного уравнения мы можем также использовать тригонометрические тождества. Давайте посмотрим, как мы можем привести данное уравнение к более простому виду.

Заметим, что √3cos(x) - sin(x) можно переписать в виде √3cos(x) - sin(x) = 1.

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b). Применим его к нашему уравнению:

√3cos(x) - sin(x) = 1

√3cos(x) - sin(x) = sin(60°)

Теперь перепишем наше уравнение с использованием этого тождества:

√3cos(x) - sin(x) = sin(60°)

Теперь заметим, что sin(60°) = √3/2, поэтому можем переписать:

√3cos(x) - sin(x) = √3/2

Теперь объединим коэффициенты при cos(x) и sin(x):

√3cos(x) - sin(x) = √3/2

Теперь воспользуемся еще одним тригонометрическим тождеством, а именно sin^2(a) + cos^2(a) = 1. Применим его к нашему уравнению:

(√3cos(x))^2 + (-sin(x))^2 = (√3/2)^2

3/4cos^2(x) + sin^2(x) = 3/4

Теперь можем привести наше уравнение к более простому виду:

3cos^2(x) + sin^2(x) = 3

Теперь заметим, что 3cos^2(x) + sin^2(x) может быть записано как cos^2(x) + (2sin(x))^2. Используя еще одно тригонометрическое тождество, а именно sin^2(a) + cos^2(a) = 1, можем переписать:

cos^2(x) + (2sin(x))^2 = 3

cos^2(x) + 4sin^2(x) = 3

Теперь можем записать наше уравнение в форме квадратного тригонометрического тождества:

cos^2(x) + (2sin(x))^2 = 3

Отсюда получаем, что:

cos^2(x) + sin^2(x) = 3/4

Таким образом, уравнение √3cos(x) - sin(x) = 1 сводится к тождеству cos^2(x) + sin^2(x) = 3/4.

Доказательство тождества sin(30-a) - cos(60-a) = -√3sin(a)

Для доказательства данного тождества мы можем использовать тригонометрические тождества и углы синуса и косинуса.

Давайте начнем с левой стороны тождества:

sin(30-a) - cos(60-a)

Заметим, что sin(30-a) = sin(30)cos(a) - cos(30)sin(a) и cos(60-a) = cos(60)cos(a) + sin(60)sin(a).

Подставим эти значения в наше тождество:

sin(30)cos(a) - cos(30)sin(a) - cos(60)cos(a) - sin(60)sin(a)

Теперь заметим, что sin(30) = 1/2, cos(30) = √3/2, cos(60) = 1/2 и sin(60) = √3/2.

Подставим эти значения в наше тождество:

(1/2)cos(a) - (√3/2)sin(a) - (1/2)cos(a) - (√3/2)sin(a)

Теперь можем объединить коэффициенты при cos(a) и sin(a):

(1/2 - 1/2)cos(a) - (√3/2 - √3/2)sin(a)

0cos(a) - 0sin(a)

0 - 0

Таким образом, левая сторона нашего тождества рав