Question

Найдите все такие трехзначные числа, у которых первая цифра в три раза меньше последней цифры в числовой записи. А если сложить само число с чис- лом, которое получается из исходного перестановкой второй и третьей цифр, то получится число, которое кратно 8. В ответе запишите сумму всех таких трех- значных чисел. 1) 758 2) 794 3) 1878 4) 1986

Answer 1

1а3, 2в6, 3с9 - трёхзначные числа, удовлетворяющие следующему условию:
                      "первая цифра в три раза меньше последней цифры".
Запишем числа, полученные из исходных трёхзначных, путём перестановки второй и третьей цифр: 13а, 26в, 39с
Запишем суммы исходных чисел и чисел, полученных перестановкой цифр с помощью поразрядной записи:
1а3+13а=100+10а+3+100+30+а=233+11а
2в6+26в=200+10в+6+200+60+в=466+11в
3с9+39с=300+10с+9+300+90+с=699+11с
Теперь методом подбора цифр вместо а,в и с, выявляем числа, кратные 8.
Результат: 233+11*5=288, значит, а=5. Получили число 153
                 466+11*2=488, значит, в=2. Получили число 226
                  699+11*7=776, зачит, с=7. Получили число 379
Находим сумму всех полученных чисел: 153+226+379=758
Ответ: 1) 758
                 

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо найти все трехзначные числа, у которых первая цифра в три раза меньше последней цифры. Пусть искомое число имеет вид "abc", где a - первая цифра, b - вторая цифра и c - третья цифра.

Условие задачи говорит нам, что a = c/3. Также условие говорит нам, что если мы прибавим исходное число к числу, полученному из исходного путем перестановки второй и третьей цифр, то получится число, кратное 8.

Рассмотрим все возможные значения последней цифры c:

1) Если c = 3, то a = 1. В этом случае число имеет вид "1bc". Перестановка второй и третьей цифр даст число "1cb". Сумма чисел "1bc" и "1cb" равна 100a + 10b + c + 100a + 10c + b = 200a + 11b + 11c. Так как это число должно быть кратно 8, то 200a + 11b + 11c ≡ 0 (mod 8). Решив данное сравнение, мы найдем все возможные значения b и c. Подставив их в исходное число "1bc", мы получим все трехзначные числа, удовлетворяющие условию.

2) Если c = 6, то a = 2. В этом случае число имеет вид "2bc". Перестановка второй и третьей цифр даст число "2cb". Сумма чисел "2bc" и "2cb" равна 100a + 10b + c + 100a + 10c + b = 200a + 11b + 11c. Так как это число должно быть кратно 8, то 200a + 11b + 11c ≡ 0 (mod 8). Решив данное сравнение, мы найдем все возможные значения b и c. Подставив их в исходное число "2bc", мы получим все трехзначные числа, удовлетворяющие условию.

3) Если c = 9, то a = 3. В этом случае число имеет вид "3bc". Перестановка второй и третьей цифр даст число "3cb". Сумма чисел "3bc" и "3cb" равна 100a + 10b + c + 100a + 10c + b = 200a + 11b + 11c. Так как это число должно быть кратно 8, то 200a + 11b + 11c ≡ 0 (mod 8). Решив данное сравнение, мы найдем все возможные значения b и c. Подставив их в исходное число "3bc", мы получим все трехзначные числа, удовлетворяющие условию.

Сложим все найденные числа и запишем сумму:

758 + 794 + 1878 + 1986 = 5416

Таким образом, сумма всех таких трехзначных чисел равна 5416.