Question

Решите пожалуйстаsin^1995(x)+cos^1995(x)=1

Answer 1

Думаю так ( не уверена...):
Т.к. |sin x|<=1, |cos x|<=1, и в силу основного тригонометрического тождества одновременно |sin x|=/=1, |cos x|=/=1, а также учитывая нечетные 1995 степени в уравнении получим совокупность систем уравнений:
\begin{cases}sin\ x =0 \\ cos\ x=1 \end{cases} => x=2\pi k,k \in Z
или
\begin{cases}cos\ x =0 \\ sin\ x=1 \end{cases} => x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,n \in Z
Ответ: 2Пк; П/2 + 2Пn, к, n - целые.

Answer 2

Для решения уравнения sin^1995(x) + cos^1995(x) = 1, мы можем использовать формулу тригонометрического тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Заметим, что данное уравнение очень похоже на тождество, но вместо 1 стоит 1995. Поэтому мы можем использовать тригонометрическое тождество в степени 1995, чтобы решить уравнение.

sin^1995(x) + cos^1995(x) = (sin^2(x) + cos^2(x))^1995

Теперь мы можем применить бином Ньютона, чтобы разложить (sin^2(x) + cos^2(x))^1995:

(sin^2(x) + cos^2(x))^1995 = C(1995, 0)sin^1995(x)cos^0(x) + C(1995, 1)sin^1994(x)cos^1(x) + C(1995, 2)sin^1993(x)cos^2(x) + ... + C(1995, 1995)sin^0(x)cos^1995(x)

Заметим, что все слагаемые, кроме первого, содержат sin(x) или cos(x) в степени больше 0, поэтому они обратятся в 0 при подстановке в уравнение. Остается только первое слагаемое:

C(1995, 0)sin^1995(x)cos^0(x) = sin^1995(x)

Таким образом, уравнение сводится к sin^1995(x) = 1.

Теперь мы можем решить это уравнение, воспользовавшись свойством синуса:

sin^1995(x) = 1 sin(x) = 1

Решением этого уравнения является x = π/2 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, решением исходного уравнения sin^1995(x) + cos^1995(x) = 1 является x = π/2 + 2πk, где k - целое число.