Question

Решить систему9^x-3^(x+1)≥2*3^x-6log8(x-0,5)(log8(8x-4)<0

Answer 1

3^2x-3*3^x-2*3^x+6>=0
3^x=t
t^2-5t+6>=0
t>=3
t<=2
3^x>=3  x>=1
3^x<=2  x<=lg3(2)
2x-1>0 x>1/2  (1/2;lg3(2)] U x>=1
lg8(2x-1)=t
(t-1/3)(t+2/3)<0
(t-1/3)(3t+2)<0
(-2/3;1/3)
1/4<2x-1<2
5/8<x<3/2
(1/2;lg3(2)] U x>=1

итого 1<=x<3/2U 5/8<x<=lg3(2)

Answer 2

{9^x -3^(x + 1) >= 2*3^x - 6        3^2x - 3*3^x - 2*3^x + 6 >= 0    3^2x - 5*3^x + 6 >= 0
{log_8(x - 0.5)log_8(8x - 4) < 0
ОДЗ     х -  0,5  >  0   ---->  x  >  0.5   
Решим  1-е  неравенство.
Заменим  3^x  =  z  >  0,    3^2x  =  z^2
z^2 - 5z + 6 >= 0
z^2 - 5z + 6 = 0
По  теореме  Виета      z_1  = 2,      z_2  =  3
             1)  3^x  =  2  ---->  x_1  =  log_3 2
             2)  3^x  =  3^1    ---->  x_2  =  1
Решением  неравенства   3^2x  -  5*3^x  +  6  >=  0    учитывая  ОДЗ    будет
[1;    +бесконечность)

Решим  2-е  неравенство.
Произведение  меньше  нуля,  когда  сомножители  имеют  разные  знаки.
1)  случай.     {log_8(x - 0.5) > 0 = log_8 1  x - 0.5 > 1    x > 1.5   
                      {log_8(8x - 4) < 0 =log_8 1    8x - 4 < 1    8x < 5  x< 5/8
                      Решением  1)  случая  будет  пустое  множество.
2)  случай      {log_8(x -0.5) < 0 = log_8 1    x - 0.5 < 0  x < 1.5
                     {log_8(8x - 4) > 0 = log_8 1    8x - 4 > 1  8x > 5    x > 5/8
Решением  2  случая  учитывая  ОДЗ  будет      (5/8;    1,5)
Учитывая    решение  1-го,  2-го  неравенства    и  ОДЗ.
Получим        1  <=    x   <   1.5
Ответ.        [1;      1.5) 

Answer 3

Для начала рассмотрим первое неравенство: 9^x - 3^(x+1) ≥ 2 * 3^x.

Приведем оба слагаемых к общему основанию, используя свойство степеней: 3^2x - 3^x * 3 ≥ 2 * 3^x.

Теперь вынесем общий множитель 3^x: 3^x * (3^x - 3) ≥ 2 * 3^x.

Для того чтобы избавиться от 3^x в обоих частях неравенства, разделим обе части на 3^x: 3^x - 3 ≥ 2.

Теперь рассмотрим второе неравенство: 6log8(x-0,5)(log8(8x-4)) < 0.

Заметим, что левая часть неравенства может быть меньше нуля только если один из множителей меньше нуля. Рассмотрим каждый множитель отдельно.

1) log8(x-0,5) < 0. Для того чтобы найти интервал, на котором логарифм отрицателен, решим неравенство: x - 0,5 < 8^0 = 1. x < 1,5.

2) log8(8x-4) < 0. Аналогично, решим неравенство: 8x - 4 < 8^0 = 1. 8x < 5. x < 5/8 = 0,625.

Теперь объединим полученные интервалы для обоих множителей: x < 1,5 и x < 0,625.

Теперь найдем пересечение этих интервалов, выбирая наименьшую границу: x < 0,625.

Таким образом, система неравенств имеет решение x < 0,625.