Question

Найдите наименьшее значение функции y=x^2-6x-7

Answer 1

Y`=2x-6=0
2x=6
x=3
y(3)=9-18-7=-16 наим

Answer 2

Наименьшее значение находится  с помощью производной, приравнимаемой той к нулю:
$y'=(x^2-6x-7)'=2x-6. \\ y'=0; \\ 2x-6=0; \\ 2x=6; \\ x= \frac{6}{2} ; \\ x=3.$
Подставляем полученное значение:
$y'(3)=3^2-6*3-7=9-18-7=-16.$ ⇒
наименьшее значение функции равно 16.

Answer 3

Для нахождения наименьшего значения функции ???? = ????^2 − 6???? − 7, мы можем использовать метод завершения квадратного трехчлена или графический метод.

## Метод завершения квадратного трехчлена

1. Начнем с исходной функции: ???? = ????^2 − 6???? − 7.

2. Чтобы завершить квадратный трехчлен, мы можем добавить и вычесть подходящее число. В данном случае, чтобы завершить квадрат, мы должны добавить к исходной функции квадрат половины коэффициента при ???? и вычесть его: ???? = ????^2 − 6???? + (−6/2)^2 − (−6/2)^2 − 7.

3. Раскроем квадрат: ???? = ????^2 − 6???? + 9 − 9 − 7.

4. Упростим выражение: ???? = (???? − 3)^2 − 16.

Теперь функция приведена к вершине параболы в канонической форме ???? = (???? − ℎ)^2 + ????, где (ℎ, ????) - координаты вершины параболы.

5. Видим, что ???? = (???? − 3)^2 − 16. Так как квадрат всегда неотрицательный, то наименьшее значение функции будет достигаться, когда ???? − 3 = 0, то есть ???? = 3.

6. Подставим ???? = 3 в исходную функцию, чтобы найти наименьшее значение: ???? = 3^2 − 6(3) − 7 = 9 − 18 − 7 = -16.

Таким образом, наименьшее значение функции ???? = ????^2 − 6???? − 7 равно -16 и достигается при ???? = 3.

## Графический метод

Мы также можем использовать график функции, чтобы определить наименьшее значение.

1. Нарисуем график функции ???? = ????^2 − 6???? − 7.

2. По графику мы видим, что парабола открывается вверх и имеет вершину в точке (3, -16).

3. Так как парабола открывается вверх, наименьшее значение функции будет достигаться в вершине параболы.

Таким образом, мы получаем, что наименьшее значение функции ???? = ????^2 − 6???? − 7 равно -16 и достигается при ???? = 3.