Question

А) Докажите, что если a+18/a - натуральное число, делящееся на 6, то a^2+324/a^2 - также натуральное число, делящееся на 36; Б) Докажите, что 13^n+7*5^n делится на 8.

Answer 1

От противного если это не так то второе равенство не выполняется.___

Answer 2

А) Доказательство: Если a = 18/b, где b - натуральное число, делящееся на 6, то a^2 = (18/b)^2 = 324/b^2. Заметим, что 324 = 18^2, и поэтому a^2 = 18^2/b^2 = (18/b)^2 = 324/b^2. Таким образом, a^2 также является натуральным числом, и оно делится на 324/18^2 = 324/324 = 1. Оно также делится на b^2, так как b^2 является делителем числа 324. Так как b делится на 6, то b^2 также делится на 6^2 = 36. Поэтому мы можем заключить, что a^2 является натуральным числом, которое делится на 36.

Б) Доказательство: Для того чтобы доказать, что 13^n + 7*5^n делится на 8 для всех натуральных чисел n, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг базы: При n = 1, у нас имеется 13^1 + 7*5^1 = 13 + 7*5 = 13 + 35 = 48. Это число делится на 8.

Индукционное предположение: Предположим, что 13^k + 7*5^k делится на 8 для некоторого натурального числа k.

Индукционный шаг: Докажем, что 13^(k+1) + 7*5^(k+1) также делится на 8, используя индукционное предположение. Раскроем выражение 13^(k+1) + 7*5^(k+1) следующим образом:

13^(k+1) + 7*5^(k+1) = 13 * 13^k + 7 * 5 * 5^k = (8 + 5) * 13^k + 7 * 5 * 5^k

Теперь заметим, что (8 + 5) * 13^k + 7 * 5 * 5^k делится на 8, так как (8 + 5) * 13^k делится на 8 (второе слагаемое также делится на 8, так как 7 * 5 * 5^k делится на 8). Таким образом, мы доказали, что 13^(k+1) + 7*5^(k+1) также делится на 8.

Таким образом, мы доказали, что для всех натуральных чисел n число 13^n + 7*5^n делится на 8.