Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y = - 2x - x², y = 0.

Answer 1

S=F(0)-F(-2)  F=∫(-2x-x²)=-x²-x³/3    F(0)=0     F(-2)=-4+8/3
s=0+4-8/3=12/3-8/3=4/3

Answer 2

Ищем точки пересечения:
$-2x-x^2=0 \\x^2+2x=0 \\x(x+2)=0 \\x_1=0 \\x_2=-2$
0 и (-2) - пределы интегрирования.
$\int\limits^0_{-2} {(-x^2-2x)} \, dx = \frac{-x^3}{3}- \frac{2x^2}{2}\int\limits^0_{-2}=0-( \frac{8}{3}-4)=4- \frac{8}{3}= \frac{12-8}{3}= \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$ед²

Answer 3

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки пересечения этих кривых и интегрировать разность между ними.

Дано две кривые: 1) y = -2x - x² 2) y = 0

Для начала найдем точки пересечения этих двух кривых. Подставим y = 0 в уравнение первой кривой и решим полученное квадратное уравнение:

0 = -2x - x² x² + 2x = 0 x(x + 2) = 0

Из этого уравнения получаем два возможных значения для x: x = 0 и x = -2.

Теперь найдем соответствующие значения y для каждой из точек пересечения, подставив найденные значения x в уравнение y = -2x - x²:

Для x = 0: y = -2(0) - (0)² y = 0

Для x = -2: y = -2(-2) - (-2)² y = 4 - 4 y = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: (0, 0) и (-2, 0).

Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, интегрируя разность между ними. В данном случае, площадь будет равна интегралу от y = -2x - x² до y = 0 по оси x на интервале от x = -2 до x = 0:

S = ∫[-2,0] (0 - (-2x - x²)) dx

Выполняя интегрирование, получаем:

S = ∫[-2,0] (2x + x²) dx S = [x² + (1/3)x³]∣[-2,0] S = [(0)² + (1/3)(0)³] - [(-2)² + (1/3)(-2)³] S = [0 + 0] - [4 - (8/3)] S = 0 - [4 - (8/3)] S = 0 - (4 - 8/3) S = 0 - 4 + 8/3 S = -4 + 8/3 S = -12/3 + 8/3 S = -4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -2x - x² и y = 0, равна -4/3.