Question

Если число сторон выпуклого многоугольника удвоить, то число его диагоналей увеличится на 30. Найдите число сторон этого многоугольника.

Answer 1

Количество диагоналей в многоугольнике к=n(n-3)/2,, где n- число сторон., было n cТоронто,а стало в 2 раза больше. Тогда число диагоналей к=2n(2n-3)/2= n(2n-3); разность количества диагоналей равна 30= n(2n-3)-n( n-3)/2; 2n(2n-3)- n(n-3)=60; 4n^2-6 n- n^2+3n=60; 3n^2-6n=60; 3n^2-3n-60=0; D=9+4*3*60=729=27*27; n=(3+27)/2*3=30/6=5. Второй корень не имеет смысла. Ответ: сторон 5

Answer 2

Пусть исходное число сторон многоугольника равно n.

Тогда число его диагоналей равно C(n, 2) = n(n-1)/2, где C(n, 2) - количество сочетаний из n по 2.

Если число сторон удвоить, то станет 2n. Число диагоналей при этом будет равно C(2n, 2) = (2n)(2n-1)/2.

По условию задачи, (2n)(2n-1)/2 = n(n-1)/2 + 30.

Упростим уравнение:

2n(2n-1) = n(n-1) + 60

Раскроем скобки:

4n^2 - 2n = n^2 - n + 60

Перенесем все слагаемые влево:

4n^2 - 2n - n^2 + n - 60 = 0

Сгруппируем слагаемые:

3n^2 - n - 60 = 0

Разложим на множители:

(3n + 12)(n - 5) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для n: n = -12/3 = -4 и n = 5.

Ответ: число сторон многоугольника может быть равно либо -4 (но в данном контексте отрицательное число сторон не имеет смысла), либо 5.