Question

Докажите что если a*(a+b+c)<0 то уравнение a*x^2+b*x+c=0 имеет два действительных корня

Answer 1

$ax^2+bx+c=0$ 
 квадратное уравнение  имеет два корня когда  $D>0$
 $D=b^2-4ac>0$
 $1)\\ a(a+b+c)<0\\ \left \{ {{a<0} \atop {a+b+c>0}} \right. \\ \left \{ {{a>0} \atop {a+b+c<0}} \right.$

теперь отдельно  так как $a<0$ , то  по модулю $|b|;|c|>0$ , следовательно дискриминант поменяет знак $b^2+4ac>0$ 
по второму следует то же 

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нужно воспользоваться дискриминантом квадратного уравнения.

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты данного уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

По условию, a*(a+b+c) < 0. Заметим, что a*(a+b+c) = a^2 + ab + ac < 0.

Рассмотрим дискриминант D квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0: D = b^2 - 4ac.

Если уравнение имеет два действительных корня, то D > 0. Докажем, что D > 0 при условии a*(a+b+c) < 0.

Предположим, что D ≤ 0. Тогда b^2 - 4ac ≤ 0. Учитывая, что a^2 + ab + ac < 0, можем записать следующее неравенство:

b^2 - 4ac ≤ 0 b^2 ≤ 4ac.

Так как a > 0, то a*c > 0. Также, так как a^2 + ab + ac < 0, то ab + ac < -a^2.

Подставим ab + ac < -a^2 в неравенство b^2 ≤ 4ac:

b^2 ≤ 4ac b^2 ≤ -4a^2 b^2 + 4a^2 ≤ 0.

Но это противоречит условию a*(a+b+c) < 0, так как a^2 + ab + ac < 0.

Таким образом, предположение D ≤ 0 неверно, и мы можем заключить, что D > 0. Следовательно, уравнение ax^2 + bx + c = 0 имеет два действительных корня при условии a*(a+b+c) < 0.