Question

Решите систему уравнений х^2+y^2=9 xy=2

Answer 1

X^2+(2/x)^2-9=0; xy=2
x^2+(4/x^2)-9=0; xy=2
x^4+4-9x^2=0; xy=2
x^4-9x^2+4=0; xy=2
D=81-16=65
x^2=(9+8,06)/2=0,47; x^2=(9-8,06)/2=6.04
x=-0.68 y=-2.94
x=0.68  y=2.94
x=-2.94 y=-0.68
x=2.94 y=0.68

Answer 2

Данная система уравнений состоит из двух уравнений:

1) $x^2 + y^2 = 9$ 2) $xy = 2$

Для решения системы можно использовать метод подстановки или метод исключения. Я воспользуюсь методом подстановки.

1) Решим второе уравнение относительно одной переменной. Для этого можно выразить одну из переменных через другую. В данном случае, можно выразить $y$ через $x$:

$xy = 2$

$y = \frac{2}{x}$

2) Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 9$

$x^2 + \frac{4}{x^2} = 9$

3) Умножим оба выражения на $x^2$, чтобы избавиться от дробей:

$x^4 + 4 = 9x^2$

4) Перенесем все члены в одну сторону:

$x^4 - 9x^2 + 4 = 0$

5) Это уравнение четвертой степени, и его решение может быть достаточно сложным. Однако, мы можем заметить, что $x = 1$ является корнем этого уравнения (подставьте $x = 1$ в уравнение и убедитесь в этом).

6) Используя синтетическое деление или деление с остатком, можно разложить уравнение четвертой степени на квадратное уравнение и линейное уравнение:

$(x - 1)(x^3 + x^2 - 4x - 4) = 0$

7) Мы получили два уравнения:

$x - 1 = 0$ или $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$

8) Решим первое уравнение:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

9) Теперь решим второе уравнение. Для этого можно использовать численные методы или методы факторизации. Одним из возможных способов является использование графиков или графического калькулятора. Построим график функции $f(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$ и найдем его корни:


На графике видно, что у функции есть два корня, примерно равных -2.45 и 1.35.

10) Таким образом, система уравнений имеет три решения:

$x = 1, -2.45, 1.35$

11) Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ во второе уравнение:

При $x = 1$: $y = \frac{2}{x} = \frac{2}{1} = 2$

При $x = -2.45$: $y = \frac{2}{x} = \frac{2}{-2.45} \approx -0.82$

При $x = 1.35$: $y = \frac{2}{x} = \frac{2}{1.35} \approx 1.48$

Таким образом, решения системы уравнений $x^2 + y^2 = 9$ и $xy = 2$ равны: $(x, y) = (1, 2), (-2.45, -0.82), (1.35, 1.48)$