Question

Помогите, пожалуйста найти интеграл от ctg^4(x)

Answer 1

∫ctg^4 x dx=∫(cos^4 x /sin^4 x)dx=| t=ctgx;  dt=(-1/sin^2 x )dx; dx=-1/(1+t^2)
cos^4 x/sn^4 x dx=-t^4 /(1+t^2)) dt |=-∫(t^4 /(1+t^2) )dt=-∫((t^4+t^2-t^2) /(1+t^2)) dt=-∫(y^2-1)dt - ∫(1/(1+t^2)dt=-t^3 /3+t-arctgt+c=-1/3 *ctg^3 x+ctgx-x+c

 

Answer 2

Для того, чтобы найти интеграл от ctg^4(x), можно воспользоваться формулой тождества ctg^2(x) = 1 + ctg^2(x) - 1 и разложить подынтегральное выражение на сумму двух слагаемых:

$$\int \operatorname{ctg}^4(x) dx = \int (\operatorname{ctg}^2(x) + 1 - 1) \operatorname{ctg}^2(x) dx = \int (\operatorname{ctg}^2(x) + 1) \operatorname{ctg}^2(x) dx - \int \operatorname{ctg}^2(x) dx$$

Затем можно взять интегралы по отдельности, используя известные формулы :

$$\int \operatorname{ctg}^2(x) dx = -\operatorname{ctg}(x) - x + C$$

$$\int \operatorname{ctg}^4(x) dx = -\int \operatorname{ctg}^2(x) d(\operatorname{ctg}(x)) = -\frac{\operatorname{ctg}^3(x)}{3} + C$$

$$\int 1 dx = x + C$$

Собирая все вместе, получаем окончательный ответ:

$$\int \operatorname{ctg}^4(x) dx = -\frac{\operatorname{ctg}^3(x)}{3} - \operatorname{ctg}(x) - x + C$$

Надеюсь, это помогло вам разобраться в решении. Если вам нужна дополнительная помощь, вы можете использовать онлайн калькулятор, который показывает пошаговое решение интегралов.