Question

Log7(x в степени2 +3x)>1

Answer 1

$log_7 (x^2+2x)>1$
$x^2+2x>0$
$x(x+2)>0$
x є $(-\infty;-2) \cup (0;+\infty)$

$7>1; x^2+2x>7^1$
$x^2+2x>7>0$
$x^2+2x-7>0$
$a=1>0$ - ветви параболы направлены верх
$D=2^2-4*1*(-7)=32=16*2=4^2*2$
$x_1=\frac{-2-4\sqrt{2}}{2*1}=-2-2\sqrt{2}$
$x_2=-2+2\sqrt{2}$
х є $(-\infty;-2-2\sqrt{2}) \cup (-2+2\sqrt{2})$

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, нужно найти все значения x, которые удовлетворяют неравенству.

Для начала, преобразуем данное неравенство. Воспользуемся свойствами логарифмов:

Log7(x^2 + 3x) > 1

Теперь применим обратную функцию логарифма, возведя обе части неравенства в степень 7:

x^2 + 3x > 7^1

x^2 + 3x > 7

Получили квадратное неравенство. Для его решения приведем его к стандартному виду:

x^2 + 3x - 7 > 0

Теперь найдем корни данного квадратного уравнения:

x = (-3 ± √(3^2 - 4*1*(-7))) / (2*1)

x = (-3 ± √(9 + 28)) / 2

x = (-3 ± √37) / 2

Таким образом, имеем два корня: x1 = (-3 + √37) / 2 и x2 = (-3 - √37) / 2.

Теперь анализируем знак квадратного трехчлена на интервалах (-∞, x1), (x1, x2) и (x2, +∞).

Для интервала (-∞, x1) квадратный трехчлен отрицателен, так как все его коэффициенты положительны. Следовательно, неравенство x^2 + 3x - 7 > 0 не выполняется на этом интервале.

Для интервала (x1, x2) квадратный трехчлен положителен, так как у него отрицательный коэффициент при x^2. Следовательно, неравенство x^2 + 3x - 7 > 0 выполняется на этом интервале.

Для интервала (x2, +∞) квадратный трехчлен снова отрицателен, так как все его коэффициенты положительны. Следовательно, неравенство x^2 + 3x - 7 > 0 не выполняется на этом интервале.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал (x1, x2), где x1 = (-3 + √37) / 2 и x2 = (-3 - √37) / 2.