Question

При каких значениях k функция y = e^kx удовлетворяет условию 2y"' - 11y" + 19y' - 10y = 0 ?

Answer 1

Это еще не дифференциальное уравнение. Это задание на определение. Что называется решением дифференциального уравнения. Ответ. Функция, при подстановке в уравнение которой и её производных, получается верное равенство.
Находим
$y`=e ^{kx} \cdot k, \\ y``=e ^{kx} \cdot k ^{2} , \\ y```=e ^{kx}\cdot k ^{3}$

Подставим в уравнение:
$2(e ^{kx}\cdot k ^{3} )-11(e ^{kx}\cdot k ^{2})+19(e ^{kx}\cdot k)-10\cdot e ^{kx}=0, \\ e ^{kx} (2k ^{3} -11k ^{2} +19k-10)=0$

Первый множитель $e ^{kx} >0$
Приравниваем к нулю второй множитель и решаем уравнение:
2k³-11k²+19k-10=0
подставновкой убеждаемся, что k=1 является корнем этого уравнения:
2-11+19-10=0, 21-21=0-верно
делим 2k³-11k²+19k-10  на k-1
получаем
(2k²-9k+10)(k-1)=0,
2k²-9k+10=0,
D=(-9)²-4·2·10=81-80=1
k=(9-1)/4=2    или    k=(9+1)/4=10/4=5/2

Ответ при k=1, k=2, k= 2,5

Answer 2

Для начала найти производную первого, второго и третьего порядка от функции у=е^kx,
у'=ke^kx
y''=k²(e^kx)
y'''=k³(e^kx).
Подставим саму функцию и её производные в уравнение, имеем:
2k³(e^kx)-11k²(e^kx)+19ke^kx-10e^kx=0
Вынесем e^kx за скобки: e^kx(2k³-11k²+19k-10)=0
e^kx=0 решений нет.
2k³-11k²+19k-10=0
Уравнение имеет три корня k1=1, k2=2,5 k3=2. Это ответ.

Answer 3

Для того чтобы функция y = e^kx удовлетворяла условию 2y"'+- 11y" + 19y'+- 10y = 0, необходимо найти значения k, при которых это условие выполняется. Давайте разберемся подробнее.

Решение уравнения

Для начала, давайте найдем производные функции y = e^kx.

Первая производная: y' = ke^kx

Вторая производная: y" = k^2e^kx

Теперь, подставим эти значения в уравнение 2y"'+- 11y" + 19y'+- 10y = 0 и упростим его:

2(k^2e^kx)'+- 11(k^2e^kx) + 19(ke^kx)'+- 10(ke^kx) = 0

2k^2e^kx +- 11k^2e^kx + 19ke^kx +- 10ke^kx = 0

(2k^2 +- 11k^2 + 19k - 10k)e^kx = 0

(13k^2 + 9k)e^kx = 0

Так как e^kx не равно нулю для любых значений x, уравнение (13k^2 + 9k)e^kx = 0 будет выполняться только тогда, когда (13k^2 + 9k) = 0.

Нахождение значений k

Для нахождения значений k, при которых (13k^2 + 9k) = 0, решим это квадратное уравнение:

13k^2 + 9k = 0

k(13k + 9) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для k:

1. k = 0 2. 13k + 9 = 0 => k = -9/13

Вывод

Таким образом, функция y = e^kx будет удовлетворять условию 2y"'+- 11y" + 19y'+- 10y = 0 при значениях k равных 0 и -9/13.