Question

Сократите дробь x^3-5x^2−9x−+45/(x−5)(x+3)

Answer 1

$\frac{x^{3}-5x^{2}-9x+45}{(x-5)(x+3)}= \frac{x^{2}(x-5)-9(x-5)}{(x-5)(x+3)}= \frac{(x^{2}-9)(x-5)}{(x-5)(x+3)}= \frac{(x-3)(x+3)(x-5)}{(x-5)(x+3)}=x-3$

Answer 2

Для сокращения данной дроби, мы можем воспользоваться методом деления многочленов или методом разложения на простейшие дроби. Давайте воспользуемся методом разложения на простейшие дроби.

Метод разложения на простейшие дроби

Мы хотим разложить дробь вида \( \frac{x^3 - 5x^2 - 9x - 45}{(x-5)(x+3)} \) на сумму простейших дробей вида \( \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+3} \), где \( A \) и \( B \) - некоторые константы.

Для нахождения \( A \) и \( B \) умножим обе стороны равенства на знаменатель и приведем под общий знаменатель:

\[ x^3 - 5x^2 - 9x - 45 = A(x+3) + B(x-5) \]

Теперь подставим значения \( x \), при которых один из множителей зануляется. Например, если подставить \( x = 5 \), то получим:

\[ 5^3 - 5*5^2 - 9*5 - 45 = A(5+3) + B(5-5) \] \[ 125 - 125 - 45 - 45 = 8A \] \[ -45 = 8A \] \[ A = -\frac{45}{8} \]

Аналогично, подставив \( x = -3 \), мы найдем значение \( B \):

\[ (-3)^3 - 5*(-3)^2 - 9*(-3) - 45 = A(-3+3) + B(-3-5) \] \[ -27 - 45 + 27 - 45 = -8B \] \[ -90 = -8B \] \[ B = \frac{90}{8} = \frac{45}{4} \]

Ответ

Таким образом, после нахождения значений \( A \) и \( B \) мы можем представить исходную дробь в виде суммы двух простейших дробей:

\[ \frac{x^3 - 5x^2 - 9x - 45}{(x-5)(x+3)} = \frac{-\frac{45}{8}}{x-5} + \frac{\frac{45}{4}}{x+3} \]

Или можно представить результат в виде:

\[ \frac{x^3 - 5x^2 - 9x - 45}{(x-5)(x+3)} = -\frac{45}{8(x-5)} + \frac{45}{4(x+3)} \]

Таким образом, мы сократили данную дробь с помощью разложения на простейшие дроби.