Question

Помогите решить пожалуйста вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями у=x^2+2; у=0; x=0; x=2

Answer 1

Решение смотри на фотографии

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями у = x^2 + 2, у = 0, x = 0 и x = 2, мы можем использовать метод интегрирования. Каждая из этих линий ограничивает определенную область на графике, и мы можем вычислить площадь этой области, интегрируя функцию у = x^2 + 2.

1. Найдем точки пересечения линий

Для начала, найдем точки пересечения у = x^2 + 2 и x = 2. Подставим x = 2 в уравнение у = x^2 + 2:

у = (2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6

Таким образом, эти две линии пересекаются в точке (2, 6).

Теперь найдем точки пересечения у = x^2 + 2 и у = 0. Подставим у = 0 в уравнение у = x^2 + 2:

0 = x^2 + 2

x^2 = -2

Это уравнение не имеет реальных корней, поскольку нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Таким образом, эти две линии не пересекаются.

2. Вычисление площади

Мы можем разделить фигуру на две части: одну часть ограничивает кривая у = x^2 + 2, а другую - ось x. Давайте вычислим площадь каждой из этих частей и сложим их, чтобы получить общую площадь.

# Часть 1: Ограниченная линией у = x^2 + 2 и осью x

Интеграл для этой части будет выглядеть следующим образом:

∫[a, b] (y) dx

где a и b - это точки пересечения линии и оси x.

Так как линия пересекает ось x в точке x = 0 и x = 2, мы можем записать интеграл следующим образом:

∫[0, 2] (x^2 + 2) dx

Вычислим этот интеграл:

∫[0, 2] (x^2 + 2) dx = [((1/3)x^3 + 2x)] [0, 2]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

= ((1/3)(2)^3 + 2(2)) - ((1/3)(0)^3 + 2(0)) = ((8/3) + 4) - 0 = (8/3 + 12/3) = 20/3

# Часть 2: Ограниченная линией у = 0 и осью x

Эта часть представляет собой прямоугольник со сторонами x = 0 и x = 2. Площадь такого прямоугольника можно вычислить как произведение его сторон:

Площадь = (2 - 0) * (0 - 0) = 2 * 0 = 0

# Общая площадь

Теперь сложим площади двух частей, чтобы получить общую площадь:

Общая площадь = площадь части 1 + площадь части 2 = 20/3 + 0 = 20/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = x^2 + 2, у = 0, x = 0 и x = 2, равна 20/3.