Question

Используя определение производной, найти производную функции: 1. f(x)= 2х+3 2. f(x)= -3x^2+2

Answer 1

1. f(x)= 2х+3;
ответ: f*(x) =2.
 2. f(x)= -3x^2+2 ответ: f*(x) =-6

Answer 2

Определение производной

Производная функции является показателем ее скорости изменения в каждой точке графика. Формально, производная функции f(x) в точке x=a определяется следующим образом:

f'(a) = lim(h -> 0) [f(a+h) - f(a)] / h

где lim(h -> 0) обозначает предел при стремлении h к нулю.

Производная функции f(x) = 2x + 3

Для нахождения производной функции f(x) = 2x + 3, мы можем использовать определение производной, которое было упомянуто выше.

f'(x) = lim(h -> 0) [f(x+h) - f(x)] / h

Подставим функцию f(x) = 2x + 3 в это определение:

f'(x) = lim(h -> 0) [2(x+h) + 3 - (2x + 3)] / h

Упростим это выражение:

f'(x) = lim(h -> 0) [2x + 2h + 3 - 2x - 3] / h

f'(x) = lim(h -> 0) [2h] / h

f'(x) = lim(h -> 0) 2

Таким образом, производная функции f(x) = 2x + 3 равна 2.

Производная функции f(x) = -3x^2 + 2

Аналогично, для нахождения производной функции f(x) = -3x^2 + 2, мы будем использовать определение производной.

f'(x) = lim(h -> 0) [f(x+h) - f(x)] / h

Подставим функцию f(x) = -3x^2 + 2 в это определение:

f'(x) = lim(h -> 0) [-3(x+h)^2 + 2 - (-3x^2 + 2)] / h

Упростим это выражение:

f'(x) = lim(h -> 0) [-3(x^2 + 2xh + h^2) + 2 + 3x^2 - 2] / h

f'(x) = lim(h -> 0) [-3x^2 - 6xh - 3h^2 + 2 + 3x^2 - 2] / h

f'(x) = lim(h -> 0) [-6xh - 3h^2] / h

f'(x) = lim(h -> 0) -6x - 3h

Таким образом, производная функции f(x) = -3x^2 + 2 равна -6x.