Question

Найдите площадь фигуры,ограниченной линиями: y=√x; y=1/2x

Answer 1

Точки пересечения графиков:

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}x\; \; \to \; \; \frac{1}{2} x- \sqrt{x} =0\; ,\; \; \sqrt{x} \cdot (\frac{1}{2}\sqrt{x}-1)=0\\\\x_1=0\; ,\; \; \frac{1}{2} \sqrt{x} =1\; \; \to \; \; \sqrt{x} =2\; ,\; x_2=4\\\\S= \int\limits^4_0 ( \sqrt{x} - \frac{1}{2} x) \, dx =\Big (\frac{2x^{3/2}}{3}-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2}\Big )\Big |_0^4 = \frac{2}{3}\cdot \sqrt{4^3} -\frac{4^2}{4}=\\\\=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, вам понадобится вычислить определенный интеграл от одной кривой до другой. В данном случае, вам нужно найти площадь фигуры между кривыми y = √x и y = 1/2x.

Шаг 1: Найдите точки пересечения

Первым шагом необходимо найти точки пересечения двух кривых. Для этого приравняйте уравнения и решите полученное уравнение относительно x.

√x = 1/2x

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x = (1/2x)^2

x = 1/4x^2

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

0 = 1/4x^2 - x

0 = x^2 - 4x

Шаг 2: Найдите точки пересечения

Теперь найдем точки пересечения, решив полученное квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться факторизацией или квадратным корнем.

x^2 - 4x = 0

x(x - 4) = 0

x = 0 или x = 4

Таким образом, две кривые пересекаются в точках (0, 0) и (4, 2).

Шаг 3: Вычислите площадь

Теперь вычислим площадь фигуры между кривыми, интегрируя разность функций по переменной x от x = 0 до x = 4.

Площадь = ∫[0,4] (1/2x - √x) dx

Вычислим каждое слагаемое отдельно:

∫(1/2x) dx = (1/2)∫x^(-1) dx = (1/2)ln|x| + C

∫√x dx = (2/3)x^(3/2) + C

Теперь найдем разность функций и вычислим определенный интеграл:

Площадь = [(1/2)ln|x| + C] - [(2/3)x^(3/2) + C]

Подставим пределы интегрирования:

Площадь = (1/2)ln|4| - (2/3)(4)^(3/2) - [(1/2)ln|0| - (2/3)(0)^(3/2)]

Заметим, что ln|0| не определен, поэтому первое слагаемое второго выражения равно 0.

Площадь = (1/2)ln|4| - (2/3)(4)^(3/2)

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = √x и y = 1/2x, равна (1/2)ln|4| - (2/3)(4)^(3/2).