Question

Найдите значение производной функции: y=-3sinx+2cosx В точке х0=п/2 Найдите точки экстремума и определите характер y=x^3+3x^2-9x-2

Answer 1

$1)\; \; \; y=-3sinx+2cosx\; ,\; \; x_0=\frac{\pi}{2}\\\\y'=-3cosx-2sinx\\\\y'( \frac{\pi}{2} )=-3cos \frac{\pi }{2} -2sin \frac{\pi}{2} =-3\cdot 0-2\cdot 1=-2\\\\2)\; \; y=x^3-3x^2-9x-2\\\\y'=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=0\\\\x^2-2x-3=0\; \; \; \to \; \; \; x_1=-1\; ,\; \; x_2=3\; \; (teorema\; Vieta)\\\\Znaki\; \; y'\; :\; \; \; +++(-1)---(3)+++\\\\.\qquad \qquad \qquad \nearrow \quad (-1)\quad \searrow \quad (3)\quad \nearrow \\\\x_{max}=-1\; ,\; \; x_{min}=3\\\\y_{max }=9\; ,\; \; y_{min}=25$

$tochka\; max\; A(-1,9)\\\\tochka\; min\; B(3,25)$

Answer 2

Я могу помочь вам с математическими задачами. Ваш вопрос состоит из двух частей:

1. Найти значение производной функции: $$y=-3\sin x+2\cos x$$ в точке $$x_0=\frac{\pi}{2}$$ 2. Найти точки экстремума и определить характер функции: $$y=x^3+3x^2-9x-2$$

Для первой части, мы можем использовать правило дифференцирования суммы и производные тригонометрических функций:

$$y'=-3\cos x-2\sin x$$

Подставляя $$x_0=\frac{\pi}{2}$$, получаем:

$$y'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-3\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-3\cdot 0-2\cdot 1=-2$$

Ответ: значение производной функции $$y=-3\sin x+2\cos x$$ в точке $$x_0=\frac{\pi}{2}$$ равно $$-2$$.

Для второй части, мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции и производную константы:

$$y'=3x^2+6x-9$$

Чтобы найти точки экстремума, мы приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение:

$$3x^2+6x-9=0$$

$$x^2+2x-3=0$$

$$(x+3)(x-1)=0$$

$$x=-3 \text{ или } x=1$$

Ответ: точки экстремума функции $$y=x^3+3x^2-9x-2$$ находятся при $$x=-3$$ и $$x=1$$.

Чтобы определить характер экстремума, мы можем использовать вторую производную:

$$y''=6x+6$$

Подставляя $$x=-3$$, получаем:

$$y''(-3)=6\cdot (-3)+6=-12$$

Так как вторая производная отрицательна, то в точке $$x=-3$$ функция имеет локальный максимум.

Подставляя $$x=1$$, получаем:

$$y''(1)=6\cdot 1+6=12$$

Так как вторая производная положительна, то в точке $$x=1$$ функция имеет локальный минимум.

Ответ: в точке $$x=-3$$ функция $$y=x^3+3x^2-9x-2$$ имеет локальный максимум, а в точке $$x=1$$ - локальный минимум.

Надеюсь, это было полезно для вас. Если вы хотите узнать больше о производных, вы можете посетить эти сайты: [Калькулятор Производной Функции в Точке](https://ru.symbolab.com/solver/derivative-point-calculator), [Калькулятор онлайн - Найти (с решением) производную функции](https://www.math-solution.ru/math-task/derivative), [Вычислитель производных: находим производные с помощью Wolfram|Alpha](https://ru.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator). Спасибо за обращение к Bing!