Question

Cos 6x - cos 8x = 1 - cos 2x

Answer 1

$cos 6x - cos 8x = 1 - cos 2x$
$-2sin \frac{6x+8x}{2}*sin \frac{6x-8x}{2}=2sin^2x$
$-2sin7x*sin (-x)=2sin^2x$
$2sin7x*sinx-2sin^2x =0$
$2sinx(sin7x-sinx) =0$
$2sinx*2cos \frac{7x+x}{2}sin\frac{7x-x}{2} =0$
$4sinx*cos4x*sin3x=0$
$sinx=0$                или       $cos4x=0$                    или       $sin3x=0$
$x= \pi k,$ $k$ ∈ $Z$        или     $4x= \frac{ \pi }{2} + \pi n,$$n$ ∈ $Z$      или      $3x=\pi m,$$m$ ∈ $Z$
                                           $x= \frac{ \pi }{8} + \frac{\pi n}{4} ,$$n$ ∈ $Z$        или       $x=\frac{ \pi m}{3} ,$$m$ ∈ $Z$ 

Answer 2

Данное уравнение, cos 6x - cos 8x = 1 - cos 2x, содержит комбинации косинусов различных аргументов. Чтобы решить его, мы можем использовать различные тригонометрические тождества и свойства, чтобы привести его к более простому виду.

Используем тригонометрические тождества

Мы знаем, что cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b). Мы можем применить это тождество к первому слагаемому в уравнении, cos 6x - cos 8x, чтобы получить:

cos 6x - cos 8x = -2sin((6x + 8x)/2)sin((6x - 8x)/2) = -2sin(7x)sin(-x) = 2sin(7x)sin(x)

Теперь у нас есть:

2sin(7x)sin(x) = 1 - cos 2x

Приведение уравнения к более простому виду

Мы можем использовать тригонометрическое тождество, sin 2x = 2sin x cos x, чтобы преобразовать правую часть уравнения:

2sin(7x)sin(x) = 1 - cos 2x 2sin(7x)sin(x) = 1 - (1 - 2sin^2 x) 2sin(7x)sin(x) = 2sin^2 x sin(7x) = sin^2 x

Решение уравнения

Теперь мы можем решить уравнение sin(7x) = sin^2 x. Для этого мы будем рассматривать два случая:

Случай 1: sin(7x) = sin x В этом случае, мы имеем:

7x = x + 2πn (n - целое число)

Таким образом, получаем x = 2πn/6, где n - целое число.

Случай 2: sin(7x) = -sin x В этом случае, мы имеем:

7x = (2n + 1)π - x + 2πn (n - целое число)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

8x = (2n + 1)π + 2πn

Таким образом, получаем x = (2n + 1)π/8, где n - целое число.

Общее решение

Объединяя оба случая, мы получаем общее решение уравнения:

x = 2πn/6, где n - целое число или x = (2n + 1)π/8, где n - целое число

Это набор значений x, при которых исходное уравнение cos 6x - cos 8x = 1 - cos 2x выполняется.