Question

Представьте в виде многочлена. 1)(2m-3n)^3. 2)(4a+1/3b)^3. 3)(2x-1/2y)^3.

Answer 1

1)(2m-3n)^3=8m^3-36m^2n+54mn^2-27n^3

Answer 2

Разложение в виде многочлена

Чтобы разложить данные выражения в виде многочлена, мы воспользуемся формулой бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона позволяет нам раскрыть степень бинома и записать его в виде суммы степеней переменных, умноженных на соответствующие коэффициенты.

Давайте приступим к разложению каждого выражения:

1) (2m - 3n)^3

Для этого выражения, применяя формулу бинома Ньютона, мы получим:

(2m - 3n)^3 = C(3, 0) * (2m)^3 * (-3n)^0 + C(3, 1) * (2m)^2 * (-3n)^1 + C(3, 2) * (2m)^1 * (-3n)^2 + C(3, 3) * (2m)^0 * (-3n)^3

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n - k)!)

Вычислим каждый член:

- Первый член: C(3, 0) * (2m)^3 * (-3n)^0 = 1 * (2m)^3 * 1 = 8m^3 - Второй член: C(3, 1) * (2m)^2 * (-3n)^1 = 3 * (2m)^2 * (-3n) = -12m^2 * 3n = -36m^2n - Третий член: C(3, 2) * (2m)^1 * (-3n)^2 = 3 * (2m) * (-3n)^2 = 6m * 9n^2 = 54mn^2 - Четвертый член: C(3, 3) * (2m)^0 * (-3n)^3 = 1 * 1 * (-3n)^3 = -27n^3

Таким образом, разложение (2m - 3n)^3 в виде многочлена будет:

(2m - 3n)^3 = 8m^3 - 36m^2n + 54mn^2 - 27n^3

2) (4a + \frac{1}{3}b)^3

Применим формулу бинома Ньютона для этого выражения:

(4a + \frac{1}{3}b)^3 = C(3, 0) * (4a)^3 * (\frac{1}{3}b)^0 + C(3, 1) * (4a)^2 * (\frac{1}{3}b)^1 + C(3, 2) * (4a)^1 * (\frac{1}{3}b)^2 + C(3, 3) * (4a)^0 * (\frac{1}{3}b)^3

Вычислим каждый член:

- Первый член: C(3, 0) * (4a)^3 * (\frac{1}{3}b)^0 = 1 * (4a)^3 * 1 = 64a^3 - Второй член: C(3, 1) * (4a)^2 * (\frac{1}{3}b)^1 = 3 * (4a)^2 * (\frac{1}{3}b) = 48a^2 * \frac{1}{3}b = 16a^2b - Третий член: C(3, 2) * (4a)^1 * (\frac{1}{3}b)^2 = 3 * (4a)^1 * (\frac{1}{3}b)^2 = 12a * (\frac{1}{3})^2b^2 = \frac{4}{3}ab^2 - Четвертый член: C(3, 3) * (4a)^0 * (\frac{1}{3}b)^3 = 1 * 1 * (\frac{1}{3}b)^3 = \frac{1}{27}b^3

Таким образом, разложение (4a + \frac{1}{3}b)^3 в виде многочлена будет:

(4a + \frac{1}{3}b)^3 = 64a^3 + 16a^2b + \frac{4}{3}ab^2 + \frac{1}{27}b^3

3) (2x - \frac{1}{2}y)^3

Применим формулу бинома Ньютона для данного выражения:

(2x - \frac{1}{2}y)^3 = C(3, 0) * (2x)^3 * (-\frac{1}{2}y)^0 + C(3, 1) * (2x)^2 * (-\frac{1}{2}y)^1 + C(3, 2) * (2x)^1 * (-\frac{1}{2}y)^2 + C(3, 3) * (2x)^0 * (-\frac{1}{2}y)^3

Вычислим каждый член:

- Первый член: C(3, 0) * (2x)^3 * (-\frac{1}{2}y)^0 = 1 * (2x)^3 * 1 = 8x^3 - Второй член: C(3, 1) * (2x)^2 * (-\frac{1}{2}y)^1 = 3 * (2x)^2 * (-\frac{1}{2}y) = -12x^2 * \frac{1}{2}y = -6x^2y - Третий член: C(3, 2) * (2x)^1 * (-\frac{1}{2}y)^2 = 3 * (2x)^1 * (-\frac{1}{2}y)^2 = 6x * (\frac{1}{2})^2y^2 = \frac{3}{2}xy^2 - Четвертый член: C(3, 3) * (2x)^0 * (-\frac{1}{2}y)^3 = 1 * 1 * (-\frac{1}{2}y)^3 = -\frac{1}{8}y^3

Таким образом, разложение (2x - \frac{1}{2}y)^3 в виде многочлена будет:

(2x - \frac{1}{2}y)^3 = 8x^3 - 6x^2y + \frac{3}{2}xy^2 - \frac{1}{8}y^3

Это разложение позволяет нам представить каждое из данных выражений в виде многочлена, что упрощает их анализ и вычисления.