Question

341.". Доведіть, що: 1) сума п'яти послідовних натуральних чисел ділиться націло на 5; 2) сума трьох послідовних парних натуральних чисел ділиться націло на 6; 3) сума чотирьох послідовних непарних натуральних чисел дi- литься націло на 8; 4) сума чотирьох послідовних натуральних чисел не ділиться націло на 4; 5) остача від ділення на 6 суми шести послідовних натуральних чисел дорівнює 3. ратна 3; 349 350 35​

Answer 1

1) Нехай сума п'яти послідовних натуральних чисел буде представлена як n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4). Ця сума може бути записана як 5n + 10, де n - найменше з чисел. Щоб сума ділилася націло на 5, 5n + 10 повинно бути кратним 5, тобто закінчуватися на 0 або 5. Отже, n має закінчуватися на 0 або 5. Прикладом може бути 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35, що ділиться націло на 5.

2) Сума трьох послідовних парних натуральних чисел може бути представлена як 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 = 6n + 12, де n - найменше з чисел. Щоб сума ділилася націло на 6, 6n + 12 повинно бути кратним 6, тобто закінчуватися на 0. Отже, n має бути кратним 2. Прикладом може бути 2 + 4 + 6 = 12, що ділиться націло на 6.

3) Сума чотирьох послідовних непарних натуральних чисел може бути представлена як 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 = 8n + 16, де n - найменше з чисел. Щоб сума ділилася націло на 8, 8n + 16 повинно бути кратним 8, тобто закінчуватися на 0. Отже, n має бути кратним 2. Прикладом може бути 1 + 3 + 5 + 7 = 16, що ділиться націло на 8.

4) Сума чотирьох послідовних натуральних чисел може бути представлена як n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6, де n - найменше з чисел. Ця сума не ділиться націло на 4, оскільки не є кратною 4. Прикладом може бути 1 + 2 + 3 + 4 = 10, що не ділиться націло на 4.

5) Остача від ділення на 6 суми шести послідовних натуральних чисел може бути представлена як 6n + 15, де n - найменше з чисел. Щоб остача дорівнювала 3, 6n + 15 повинно бути кратним 6 з додаванням 3, тобто закінчуватися на 3. Отже, n має закінчуватися на 3. Прикладом може бути 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33, що при діленні на 6 дає остачу 3.

Отже, ми довели всі вказані умови.