Question

Знайти точку M1, симетричну точці M2 (8; −9) відносно прямої, що проходить через точки А(3;–4) та В(–1;–2).

Answer 1

Для знаходження точки M1, симетричної точці M2(8, -9) відносно прямої, що проходить через точки A(3, -4) та B(-1, -2), спочатку знайдемо рівняння прямої, що проходить через ці дві точки.

Спочатку знайдемо коефіцієнт напрямку прямої (k):

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - (-4)) / (-1 - 3) = 2 / (-4) = -1/2

Тепер знайдемо значення b (зміщення відносно осі y) за формулою y = kx + b, підставивши значення однієї з точок (наприклад, A(3, -4)):

-4 = (-1/2)*3 + b -4 = -3/2 + b b = -4 + 3/2 b = -5/2

Таким чином, рівняння прямої, що проходить через точки A та B, буде y = (-1/2)x - 5/2.

Тепер знайдемо точку перетину цієї прямої з відстанцем від точки M2 до прямої, яка дорівнює відстані від M1 до прямої.

Спочатку знайдемо координати точки перетину прямої та відстанця від точки M2 до прямої. Для цього скористаємося формулою відстані від точки до прямої:

d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)

де d - відстань від точки до прямої, A та B - коефіцієнти рівняння прямої (у нашому випадку -1/2), C = -5/2. Також A^2 + B^2 = 1/4 + 1 = 5/4.

Тепер підставимо координати точки M2(8, -9) та рівняння прямої y = (-1/2)x - 5/2 в формулу відстані від точки до прямої:

d = |(-1/2)*8 + 1*(-9) - 5/2| / √(5/4) d = |-4 + (-9) - 5/2| / √(5/4) d = |-18/2 - 5/2| / √(5/4) d = |-23/2| / √(5/4) d = 23/2√(5/4)

Це є відстань від точки M2 до прямої. Тепер знайдемо вектор, який йде від точки M2 вздовж нормалі до прямої, яка з'єднує точку M2 з прямою.

Вектор нормалі буде мати координати (A, B), де A та B - координати коефіцієнтів рівняння прямої (у нашому випадку -1/2, 1).

Тепер знайдемо вектор, який йде від точки M2 вздовж вектора нормалі:

M1(x, y) = M2(x2, y2) - d/√(A^2 + B^2)*(A, B) M1(x, y) = (8, -9) - 23/2√(5/4)*(1, -1/2) M1(x, y) = (8, -9) - (23/2√(5/4), -23/4√(5/4)) M1(x, y) = (8 - 23/2√(5/4), -9 + 23/4√(5/4))

Отже, координати точки M1, симетричної точці M2 відносно прямої, що проходить через точки A та B, будуть:

M1(x, y) = (8 - 23/2√(5/4), -9 + 23/4√(5/4))

Це і є шукана точка M1.