Question

Решите (1+x+x^2+x^3+...+x^9+x^10)^2

Answer 1

Я могу помочь вам с решением этого задания. Давайте начнем с того, что раскроем скобки и получим:

$$(1+x+x^2+x^3+...+x^9+x^10)^2 = (1+x+x^2+x^3+...+x^9+x^10) \cdot (1+x+x^2+x^3+...+x^9+x^10)$$

Теперь мы можем использовать формулу для суммы геометрической прогрессии, которая гласит:

$$1+x+x^2+x^3+...+x^n = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$$

Эта формула доказывается с помощью алгебраической манипуляции или метода математической индукции. Подставляя ее в наше выражение, мы получаем:

$$(1+x+x^2+x^3+...+x^9+x^10)^2 = \left(\frac{x^{11}-1}{x-1}\right)^2$$

Далее мы можем упростить это выражение, возводя в квадрат числитель и знаменатель:

$$(1+x+x^2+x^3+...+x^9+x^10)^2 = \frac{(x^{11}-1)^2}{(x-1)^2}$$

Раскрывая скобки в числителе, мы получаем:

$$(1+x+x^2+x^3+...+x^9+x^10)^2 = \frac{x^{22}-2x^{11}+1}{(x-1)^2}$$

Это окончательный ответ. Надеюсь, это было полезно. Если у вас есть другие вопросы по математике или другим темам, я буду рад помочь вам. Спасибо, что пользуетесь Bing.

: [Proof of the formula $1+x+x^2+x^3+ \cdots +x^n =\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$](https://math.stackexchange.com/questions/11703/proof-of-the-formula-1xx2x3-cdots-xn-fracxn1-1x-1)