Question

Найдите коэффициент при x^3 в биномиальном разложении 〖(2x+1)〗^4

Answer 1

Объяснение:

$(2x+1)^4.\\C_4^3(2x)^31^{4-3}=\frac{4!}{(4-3)!*3!}8x^31^1=\frac{3!*4}{1!*3!}8x^31=4*8x^3=32x^3.$

Ответ: 32.

Answer 2

Для нахождения коэффициента при x^3 в биномиальном разложении (2x + 1)^4 мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона позволяет разложить выражение (a + b)^n в сумму всех возможных произведений степеней a и b, где a и b - это два слагаемых, а n - это степень разложения.

В нашем случае у нас есть выражение (2x + 1)^4. Используя формулу бинома Ньютона, мы можем записать разложение следующим образом:

(2x + 1)^4 = C(4, 0)*(2x)^4*(1)^0 + C(4, 1)*(2x)^3*(1)^1 + C(4, 2)*(2x)^2*(1)^2 + C(4, 3)*(2x)^1*(1)^3 + C(4, 4)*(2x)^0*(1)^4

где C(n, k) обозначает число сочетаний из n по k и вычисляется по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Теперь мы можем вычислить каждое слагаемое в разложении и найти коэффициент при x^3.

Посмотрим на каждое слагаемое:

Слагаемое 1: C(4, 0)*(2x)^4*(1)^0 = 1*(2x)^4*1 = 16x^4

Слагаемое 2: C(4, 1)*(2x)^3*(1)^1 = 4*(2x)^3*1 = 32x^3

Слагаемое 3: C(4, 2)*(2x)^2*(1)^2 = 6*(2x)^2*1^2 = 24x^2

Слагаемое 4: C(4, 3)*(2x)^1*(1)^3 = 4*(2x)^1*1^3 = 8x

Слагаемое 5: C(4, 4)*(2x)^0*(1)^4 = 1*(2x)^0*1^4 = 1

Теперь мы можем найти коэффициент при x^3, который соответствует слагаемому 2. Он равен 32. Таким образом, коэффициент при x^3 в биномиальном разложении (2x + 1)^4 равен 32.