Question

В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точкупересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам.Докажите, что полученный четырехугольник – квадрат.

Answer 1

Возьмем треугольник АВС, где угол В - прямой. точку пересечения биссектрисы с катетом обозначим за D; Пересечения катетов обозначим за E и F соответственно. 
Т.к. угол В прямой то, катеты будут лежать перпендикулярно . то есть BC перпендикулярно DF (т.к. В прямой и AB||DF) и EB перпендикулярно ED (тк B прямой и BC||ED) . т.к. эти три угла равные =90 (B E и  F) то и угол D равен 90 (т.к. сумма углов в 4угольнике =360).
отметим что BC||ED значит BD секущая, а DBF и BDE накрестлежащие, а следовательно они равны.известно, что против равных углов лежат равные стороны. значит, BE=DF. Аналогично по углам EBD и BDF находим, что ED=BF. кроме того, т.к. BD биссектриса, EBD=DBF.  В итоге BE=DF=ED=BF и каждый из углов равен 90 градусам, что соответствует определению квадрата.

Answer 2

Доказательство того, что полученный четырехугольник является квадратом:

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, BC и AC - катеты. Проведем биссектрису прямого угла BCD, где D - точка пересечения биссектрисы с гипотенузой AB. Пусть EF и GH - прямые, параллельные катетам BC и AC соответственно, и пересекающиеся в точке D.

Шаг 1: Докажем, что треугольники BCD и ACD равны по двум сторонам и углу. - Сторона BC общая для обоих треугольников. - Сторона CD общая для обоих треугольников. - Угол BCD и угол ACD равны, так как они являются биссектрисами прямого угла.

Таким образом, по двум сторонам и углу треугольники BCD и ACD равны друг другу (по критерию равенства треугольников).

Шаг 2: Докажем, что угол CBD равен углу CAD. - Угол CBD равен половине прямого угла, так как CD является биссектрисой. - Угол CAD является прямым углом, так как ABC - прямоугольный треугольник.

Таким образом, угол CBD и угол CAD равны друг другу.

Шаг 3: Докажем, что треугольники CBD и CAD равны друг другу по двум сторонам и углу. - Сторона CD общая для обоих треугольников. - Сторона BD равна стороне AD, так как BD и AD являются параллельными катетами. - Угол CBD и угол CAD равны друг другу, так как мы доказали это в шаге 2.

Таким образом, по двум сторонам и углу треугольники CBD и CAD равны друг другу (по критерию равенства треугольников).

Шаг 4: Докажем, что треугольники ABC и ACD равны друг другу по двум сторонам и углу. - Сторона AC общая для обоих треугольников. - Сторона BC равна стороне CD, так как BC и CD являются параллельными катетами. - Угол BAC и угол CAD равны друг другу, так как мы доказали это в шаге 3.

Таким образом, по двум сторонам и углу треугольники ABC и ACD равны друг другу (по критерию равенства треугольников).

Шаг 5: Докажем, что AD равна BD. - Треугольники ABC и ACD равны по двум сторонам и углу, поэтому их гипотенузы AB и AC равны. - Следовательно, AD равна BD (разность равных величин равна).

Таким образом, AD равна BD.

Шаг 6: Докажем, что треугольники BCD и ACD являются прямоугольными. - Угол BCD является прямым углом, так как BC и CD являются параллельными катетами. - Угол ACD является прямым углом, так как AC и CD являются параллельными катетами.

Таким образом, треугольники BCD и ACD являются прямоугольными.

Шаг 7: Докажем, что полученный четырехугольник EDFG является квадратом. - Треугольники BCD и ACD равны по двум сторонам и углу, поэтому их гипотенузы BD и AD равны. - Следовательно, стороны ED и FD равны, так как ED = BD = AD = FD. - Углы EDF и FDE являются прямыми углами, так как треугольники BCD и ACD являются прямоугольными.

Таким образом, все стороны четырехугольника EDFG равны, и его углы являются прямыми углами. Следовательно, полученный четырехугольник является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что полученный четырехугольник является квадратом.