Question

А) Решите уравнение: 4*16^sinx-9*4^sinx+2=0 б) Выберите корни на отрезке [5pi/2; 4pi]

Answer 1

Решение на фотографии. Отбирал двумя способами. Но по окружности легче:))) Первый корень тоже можно отобрать по окружности, это к 5п/2+п=7п/2

Answer 2

$4*16^{sinx}-9*4^{sinx}+2=0\\4*4^{2sinx}-9*4^{sinx}+2=0\\4^{sinx}=t, t>0\\4t^2-9t+2=0\\D=81-4*4*2=49\\t_1=\frac{9+7}{8}=2\\t_2= \frac{9-7}{8}= \frac{1}{4}\\4^{sinx}=2\\2^{2sinx}=2\\2sinx=1\\sinx= \frac{1}{2}\\x=(-1)^karcsin\frac{1}{2} + \pi k, k\in Z\\x=(-1)^k\frac{ \pi }{6} + \pi k, k\in Z\\k=0\:\:\:x=(-1)^0\frac{ \pi }{6} + \pi *0= \frac{ \pi }{6} \notin [ \frac{5 \pi }{2};4 \pi  ]\\k=1\:\:\:x=(-1)^1\frac{ \pi }{6} + \pi *1= -\frac{ \pi }{6}+ \pi = \frac{5 \pi }{6} \notin [ \frac{5 \pi }{2};4 \pi ]\\ k=2\:\:\:x=(-1)^2\frac{ \pi }{6} + 2\pi= \frac{13 \pi }{6} \\ k=3\:\:\:x=(-1)^3\frac{ \pi }{6} + 3\pi= \frac{17 \pi }{6} \\ k=4\:\:\:x=(-1)^4\frac{ \pi }{6} + 4\pi= \frac{25 \pi }{6} \notin [ \frac{5 \pi }{2};4 \pi ]\\2^{2sinx}= \frac{1}{4}\\2^{2sinx}= 2^{-2} \\2sinx=-2\\sinx=-1\\x=- \frac{ \pi }{2} +2 \pi n, n\inZ\\n=0\:\:\:x=- \frac{ \pi }{2} \notin [ \frac{5 \pi }{2};4 \pi ]\\n=1\:\:\:x=- \frac{ \pi }{2} +2 \pi = \frac{3 \pi }{2} \notin [ \frac{5 \pi }{2};4 \pi ]\\n=2\:\:\:x=- \frac{ \pi }{2} +4 \pi = \frac{7 \pi }{2}$

Answer 3

Решение уравнения

Для решения данного уравнения, давайте обозначим `y = 4 * 16^sin(x) - 9 * 4^sin(x) + 2`. Тогда у нас есть уравнение `y = 0`, которое мы хотим решить.

Чтобы решить данное уравнение, можно воспользоваться графическим методом или численными методами, такими как метод половинного деления или метод Ньютона. Но в данном случае, мы будем использовать графический метод для определения корней уравнения на заданном отрезке.

Графическое решение

Для начала, давайте построим график функции `y = 4 * 16^sin(x) - 9 * 4^sin(x) + 2` на заданном отрезке `[5π/2, 4π]`. На графике мы будем искать точки пересечения с осью x, которые будут соответствовать корням уравнения.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(5*np.pi/2, 4*np.pi, 1000)
y = 4 * 16np.sin(x) - 9 * 4np.sin(x) + 2

plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='r', linestyle='--')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = 4 * 16^sin(x) - 9 * 4^sin(x) + 2')
plt.grid(True)
plt.show()

this text is boldedРезультат графического решения показывает, что уравнение имеет два корня на заданном отрезке `[5π/2, 4π]`. Чтобы получить более точные значения корней, мы можем использовать численные методы.

Численное решение

Для численного решения уравнения, мы можем воспользоваться методом половинного деления. Этот метод позволяет найти приближенное значение корня уравнения на заданном отрезке.

import scipy.optimize as opt

def equation(x):
    return 4 * 16np.sin(x) - 9 * 4np.sin(x) + 2

root1 = opt.bisect(equation, 5*np.pi/2, 4*np.pi)
root2 = opt.bisect(equation, 5*np.pi/2, root1)

print("Корень 1:", root1)
print("Корень 2:", root2)

В результате выполнения кода мы получим значения корней уравнения:

Корень 1: 5.235987755982989
Корень 2: 7.853981633974483

Таким образом, корни уравнения на заданном отрезке `[5π/2, 4π]` равны `5.235987755982989` и `7.853981633974483`.