Question

Упростить: (cos18° cos7° - sin18°sin7°)² + (sin15° cos10° + cos15° sin10°)²

Answer 1

В первых скобках формула косинуса суммы двух углов, а во второй скобке синус суммы двух углов.
(cos18° cos7° - sin18°sin7°)² + (sin15° cos10° + cos15° sin10°)²=
= (cos(18° + 7°))² + (sin(18° + 7°))² = 
= cos² 25° + sin²25° = 1
В конце  применили основное тождество: sin²α + cos²α = 1
Ответ: 1

Answer 2

Давайте решим это математическое выражение поэтапно.

Упрощение выражения (cos18° + cos7° - sin18°sin7°)²

Для начала, давайте воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Мы можем применить эту формулу к нашему выражению:

cos(18° + 7°) = cos(18°)cos(7°) - sin(18°)sin(7°)

Теперь мы можем подставить это обратно в исходное выражение:

(cos18° + cos7° - sin18°sin7°)² = (cos(18°)cos(7°) - sin(18°)sin(7°))²

Теперь мы можем воспользоваться формулой квадрата разности:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Применяя эту формулу к нашему выражению, получим:

(cos(18°)cos(7°) - sin(18°)sin(7°))² = cos²(18°)cos²(7°) - 2cos(18°)cos(7°)sin(18°)sin(7°) + sin²(18°)sin²(7°)

Теперь мы можем воспользоваться формулами двойного угла:

cos²(A) = (1 + cos(2A))/2 sin²(A) = (1 - cos(2A))/2

Применяя эти формулы, получим:

cos²(18°) = (1 + cos(2*18°))/2 = (1 + cos(36°))/2 cos²(7°) = (1 + cos(2*7°))/2 = (1 + cos(14°))/2 sin²(18°) = (1 - cos(2*18°))/2 = (1 - cos(36°))/2 sin²(7°) = (1 - cos(2*7°))/2 = (1 - cos(14°))/2

Теперь мы можем подставить эти значения обратно в исходное выражение:

cos²(18°)cos²(7°) - 2cos(18°)cos(7°)sin(18°)sin(7°) + sin²(18°)sin²(7°) = ((1 + cos(36°))/2)((1 + cos(14°))/2) - 2cos(18°)cos(7°)sin(18°)sin(7°) + ((1 - cos(36°))/2)((1 - cos(14°))/2)

Таким образом, мы упростили выражение (cos18° + cos7° - sin18°sin7°)².

Упрощение выражения (sin15° + cos10° + cos15° + sin10°)²

Давайте упростим это выражение поэтапно.

Сначала просуммируем синусы и косинусы:

sin(15°) + cos(10°) + cos(15°) + sin(10°) = sin(15°) + sin(10°) + cos(10°) + cos(15°)

Теперь мы можем воспользоваться формулой синуса суммы двух углов:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Применяя эту формулу, получим:

sin(15°) + sin(10°) + cos(10°) + cos(15°) = sin(15°)cos(10°) + cos(15°)sin(10°) + cos(10°) + cos(15°)

Теперь мы можем воспользоваться формулой квадрата суммы:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Применяя эту формулу к нашему выражению, получим:

(sin(15°)cos(10°) + cos(15°)sin(10°) + cos(10°) + cos(15°))² = sin²(15°)cos²(10°) + 2sin(15°)cos(10°)cos(15°)sin(10°) + 2sin(15°)cos(10°)cos(15°) + sin²(10°) + 2cos(10°)cos(15°) + cos²(15°)

Теперь мы можем воспользоваться формулами двойного угла:

cos²(A) = (1 + cos(2A))/2 sin²(A) = (1 - cos(2A))/2

Применяя эти формулы, получим:

cos²(10°) = (1 + cos(2*10°))/2 = (1 + cos(20°))/2 cos²(15°) = (1 + cos(2*15°))/2 = (1 + cos(30°))/2 sin²(10°) = (1 - cos(2*10°))/2 = (1 - cos(20°))/2 sin²(15°) = (1 - cos(2*15°))/2 = (1 - cos(30°))/2

Теперь мы можем подставить эти значения обратно в исходное выражение:

sin²(15°)cos²(10°) + 2sin(15°)cos(10°)cos(15°)sin(10°) + 2sin(15°)cos(10°)cos(15°) + sin²(10°) + 2cos(10°)cos(15°) + cos²(15°) = ((1 - cos(30°))/2)((1 + cos(20°))/2) + 2sin(15°)cos(10°)cos(15°)sin(10°) + 2sin(15°)cos(10°)cos(15°) + ((1 - cos(20°))/2)((1 + cos(30°))/2) + 2cos(10°)cos(15°) + ((1 + cos(30°))/2)

Таким образом, мы упростили выражение (sin15° + cos10° + cos15° + sin10°)².

Результат упрощения

Таким образом, после упрощения выражений (cos18° + cos7° - sin18°sin7°)² и (sin15° + cos10° + cos15° + sin10°)², мы получаем:

(cos18° + cos7° - sin18°sin7°)² + (sin15° + cos10° + cos15° + sin10°)² = ((1 + cos(36°))/2)((1 + cos(14°))/2) - 2cos(18°)cos(7°)sin(18°)sin(7°) + ((1 - cos(36°))/2)((1 - cos(14°))/2) + ((1 - cos(30°))/2)((1 + cos(20°))/2) + 2sin(15°)cos(10°)cos(15°)sin(10°) + 2sin(15°)cos(10°)cos(15°) + ((1 - cos(20°))/2)((1 + cos(30°))/2) + 2cos(10°)cos(15°) + ((1 + cos(30°))/2)

Пожалуйста, обратите внимание, что это упрощение не дает окончательного числового результата, а представляет собой математическое выражение, в котором используются тригонометрические функции и алгебраические операции. Если вам необходимо получить окончательное числовое значение, пожалуйста, уточните значения углов.