Question

Докажите что сумма квадратов двух не кратных трем прследывательных натуральных чисел не делится на 9

Answer 1

Возьмем 2 таких числа 3k+1; 3k+2

(3k+1)²+(3k+2)²=9k²+6k+1+9k²+12k+4=18k²+18k+5

18k²+18k+5
------------------- =2k²+2k+5/9  2k²+2k∈N, то есть на 9 не делится
         9

Answer 2

Для доказательства того, что сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел, не кратных трём, не делится на 9, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг:

Проверим, что утверждение верно для начального значения. Возьмем первые два натуральных числа, не кратных трём: 1 и 2. Их квадраты равны 1 и 4 соответственно. Сумма этих квадратов равна 5, что не делится на 9.

Предположение индукции:

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел, не кратных трём, не делится на 9.

Индукционный шаг:

Докажем, что утверждение верно для числа k+1. Рассмотрим сумму квадратов двух последовательных натуральных чисел, не кратных трём, равных k и k+1. Их квадраты равны k^2 и (k+1)^2 соответственно. Сумма этих квадратов равна k^2 + (k+1)^2 = k^2 + k^2 + 2k + 1 = 2k^2 + 2k + 1.

Теперь докажем, что 2k^2 + 2k + 1 не делится на 9. Для этого рассмотрим остатки от деления этого выражения на 9. Мы можем представить k в виде k = 3m + r, где m - некоторое целое число, а r - остаток от деления k на 3 (r может быть 0, 1 или 2).

Подставим это представление в выражение 2k^2 + 2k + 1: 2(3m + r)^2 + 2(3m + r) + 1 = 18m^2 + 12mr + 2r^2 + 6m + 2r + 1.

Рассмотрим остатки от деления каждого слагаемого на 9: 18m^2 ≡ 0 (mod 9), 12mr ≡ 0 (mod 9), 2r^2 ≡ 2r^2 (mod 9), 6m ≡ 6m (mod 9), 2r ≡ 2r (mod 9), 1 ≡ 1 (mod 9).

Таким образом, сумма 2k^2 + 2k + 1 имеет остаток 2r^2 + 2r + 1 при делении на 9.

Рассмотрим все возможные значения r (0, 1 и 2): - При r = 0: 2r^2 + 2r + 1 = 1, что не делится на 9. - При r = 1: 2r^2 + 2r + 1 = 5, что не делится на 9. - При r = 2: 2r^2 + 2r + 1 = 11, что не делится на 9.

Таким образом, для всех возможных значений r сумма 2k^2 + 2k + 1 не делится на 9.

Заключение:

Мы доказали, что сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел, не кратных трём, не делится на 9. Это доказывает утверждение, которое было поставлено в начале.