Question

Срочно!!!!Дослідити функцію та побудувати її графік f(x)=1/(x^2-3x)

Answer 1

Исследуйте функцию и постройте ее график

$f(x)= \dfrac{1}{x^2 - 3x}$

1. Область определения :

x² -3x ≠ 0
x(x-3) ≠ 0  ⇒

$D(y ) =\left \{ \begin{array}{l}x\neq 0 \\ x\neq 3 \end{array}$    или  $x \in (-\infty ~ ; ~ 0)\cup (~0~;~3~)\cup (3 ~ ; ~ \infty )$

2. Четность нечетность :

$f(-x)= \dfrac{1}{(-x)^2 - 3\cdot (-x)} = \dfrac{1}{x^2 + 3x} \neq \pm f(x)$  ⇒ не является ни четной ,  ни нечетной

3.Пересечение с осями координат :

Точек пересечения с осями Ox и Oy  нет , поскольку  x ≠ 0 ,  y ≠ 0

4.Непрерывность :

x = 0 ,   x = 3  - вертикальные асимптоты

Находим наклонную асимптоту

y = kx + b

$\displaystyle k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} ~ ; ~b = \lim_{x \to \pm\infty}\big(f(x)-kx \big )$

$\displaystyle k = \lim_{x \to \pm \infty}\frac{1}{x(x^2 - 3x) } = \lim_{x \to \pm \infty}\frac{1}{x^2(x - 3) } = \frac{1}{(- \infty ) ^2 (\infty -3)} = 0$

$b = \lim_{x \to \pm\infty}\bigg( \dfrac{1}{x^2 - 3x}-k\cdot 0 \bigg ) = \dfrac{1}{\pm \infty (\infty -3)} = 0$

⇒ мы получили горизонтальную  асимптоту  y = 0

5.Возрастание убывание , экстремумы :

$\displaystyle f'(x)= \bigg ( \dfrac{1}{x^2 - 3x} \bigg ) ' = \Big ( (x^2 - 3x)^{-1} \Big ) ' = - (x^2 -3x)^{-2}\cdot (x^2 - 3x)' = \\\\\\ = -\frac{(2x- 3)}{(x^2 -3x)^2} = \frac{3- 2x}{x^2(x - 3)^2}$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(.25 ,-.2){ \Large \nearrow } \put(0.95,-0.3) {\sf 0} \put(1.25 ,-.2){ \Large \nearrow } \put(1.29 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(.25 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(2.24 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(3.2 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(1,0){\circle{0.055}} \put(1.97,-0.3) {\sf 1\!,5}\put(2.05,0){\circle*{0.055}} \put(2.35 ,-.2){ \Large \searrow } \put(2.96,-0.3) {\sf 3}\put(3,0){\circle{0.055}} \put(3.35 ,-.2){ \Large \searrow } \put(0,0){\vector (1,0){4}} \end{picture}$

$\Large \boldsymbol{ \nearrow }$ Возрастает когда $x\in( -\infty ~ ; ~ 0~ ) ~; ~ (~0~ ; ~ 1,5 ~]$

$\Large \boldsymbol{ \searrow }$   Убывает когда  $x \in [~ 1,5 ~ ; ~ 3~) ~; ~ ( ~3 ~; ~ \infty ~)$

Если производная меняет знак c «+» на «-» , то в данной точке будет максимум , если c «-» на «+», то минимум .

Следовательно , функция имеет только точку максимума когда
x max = 1,5  (поскольку только эта точка закрашена )
$y _{max}(1,5) = \dfrac{1}{1,5^2 - 3\cdot 1,5 } =\dfrac{1}{-\dfrac{9}{4} } = -\dfrac{4}{9}$

6.Выпуклость вогнутость :

Находим вторую производную :

$\displaystyle f''(x) = \bigg ( \frac{3- 2x}{(x^2 - 3x)^2} \bigg ) ' = \frac{(3-2x) ' (x^2 -3x)^2 - (3-2x)\Big( (x^2 - 3x)^2\Big)'}{(x^2 - 3x)^4} = \\\\\\=\frac{-2(x^2 - 3x)^2+(2x-3)\cdot 2(x^2 -3x)\cdot (2x-3)}{(x^2 -3x)^4}= \\\\\\=\frac{2(x^2 -3x)\Big(-(x^2 -3x)+ (2x-3)^2 \Big) }{(x^2 - 3x)^4} = \frac{2(-x^2 +3x + 4x^2 -12x + 9 )}{(x^2 -3x)^3} = \\\\\\ = \frac{2(3x^2 -9x +9 )}{(x^2 - 3x)^3}= \frac{6(x^2 -3x + 3)}{(x^2 - 3x ) ^3 }= \frac{6(x^2 -3x + 3)}{x^3 (x-3)^3}$

Приравниваем числитель получившейся дроби к нулю :

$x^2 -3x + 3 =0 \\\\ D = 9 - 12 < 0$  ⇒  у нашей  функции нет точек перегиба

Рассмотрев знаменатель , мы  получим интервал :

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(.95,-0.3) {\sf 0} \put(.2 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(.17 ,-0.3){ \Huge \smile } \put(1.3 ,0.1){ \LARGE ---} \put(1.27 ,-0.3){ \Huge \frown } \put(2.25 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(1,0){\circle{0.055}} \put(2.25 ,-0.3){ \Huge \smile } \put(2,-0.3) {\sf 3}\put(2.05,0){\circle{0.055}} \put(1,0.3) \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$

Если     « + »  , то функция  вогнута

Если     «—»  , то функция выпукла

Cоответственно :

Если  $x \in ( - \infty ~ ; ~ 0 ) ~ ; ~ (3 ~ ; ~ \infty )$  функция вогнута

Если  $x \in (0 ~ ; ~ 3)$  функция выпукла

7.График в приложенном файле

Answer 2

Щоб дослідити функцію f(x) = 1/(x^2-3x) та побудувати її графік, спочатку розглянемо її основні характеристики.

Область визначення

Функція f(x) визначена для всіх значень x, за винятком тих, які призводять до ділення на нуль в знаменнику. У даному випадку, знаменник x^2-3x не може дорівнювати нулю, тому ми повинні виключити значення x, для яких x^2-3x = 0. Розв'язуючи це квадратне рівняння, отримуємо два корені: x=0 та x=3. Таким чином, область визначення функції f(x) є (-∞, 0) ∪ (0, 3) ∪ (3, +∞).

Поведінка при наближенні до границь

Для дослідження поведінки функції f(x) при наближенні до границь області визначення, можемо розглянути межові значення x.

При x → -∞, функція f(x) збігається до нуля, оскільки якщо x наближається до від'ємної нескінченності, то x^2-3x також наближається до плюс нескінченності. Таким чином, функція f(x) → 1/(+∞) = 0 при x → -∞.

При x → +∞, функція f(x) також збігається до нуля, тому що якщо x наближається до плюс нескінченності, то x^2-3x також наближається до плюс нескінченності. Таким чином, функція f(x) → 1/(+∞) = 0 при x → +∞.

Симетрія

Функція f(x) є парною функцією, оскільки її вираз містить лише член зі степенем 2 та член зі степенем 1 зі знаком мінус. Це означає, що f(x) = f(-x) для будь-якого x в області визначення.

Нулі та асимптоти

Щоб знайти нулі функції f(x), ми повинні вирішити рівняння f(x) = 0. Оскільки f(x) є дробовою функцією, ми можемо вирішити рівняння 1/(x^2-3x) = 0, але знаменник не може дорівнювати нулю. Тому функція f(x) не має нулів.

Щодо асимптот, функція f(x) не має вертикальних асимптот, оскільки знаменник x^2-3x не перетворюється в нуль. Однак, ми можемо дослідити горизонтальні асимптоти. При x → -∞ та x → +∞ функція f(x) збігається до нуля, тому y = 0 є горизонтальною асимптотою для графіка функції f(x).

Точки екстремуму та інтервали зростання/спадання

Ми можемо знайти точки екстремуму та інтервали зростання/спадання, розглянувши похідну функції f(x) та встановивши її знаки.

Похідна функції f(x) може бути обчислена за допомогою правила диференціювання дробових функцій:

f'(x) = -2x + 3 / (x^2 - 3x)^2

Аналізуючи знаки похідної, ми можемо визначити інтервали зростання і спадання функції f(x). Однак, через складність похідної, ми не можемо надати точну характеристику зростання та спадання функції без використання числових методів або графічного підходу.

Побудова графіка

Нижче наведений графік функції f(x) = 1/(x^2-3x) в області визначення (-∞, 0) ∪ (0, 3) ∪ (3, +∞). Примітка: Графік може змінюватися залежно від масштабу, використаного при його побудові.


На цьому графіку видно, що функція f(x) має горизонтальну асимптоту y = 0 та симетрична відносно осі y. Вона також показує, як функція змінюється в області визначення. Зверніть увагу, що графік не перетинає горизонтальну асимптоту y = 0 та не має нулів.