Question

3. Определите промежутки выпуклости вверх(вниз) и точки перегиба данной функций: f(x)=x4+4x3-18x²-x-17

Answer 1

Ответ:точки перегиба находятся при x=-2 и x=1, промежутки выпуклости вверх: (-∞, -2) и (1, +∞), промежуток выпуклости вниз: (-2,1).

Объяснение:

Производная функции f(x) равна: f'(x) = 4x^3 + 12x^2 - 36x - 1.

Вычисляем вторую производную функции f(x): f''(x) = 12x^2 + 24x - 36.

Точки перегиба находятся там, где вторая производная обращается в ноль или не существует. Решим уравнение f''(x) = 0: 12x^2 + 24x - 36 = 0

Делим обе части на 12: x^2 + 2x - 3 = 0

Решаем квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*(-3) = 16,x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-2 ± √16) / 2 = -1 ± 1

Таким образом, точки перегиба находятся при x1 = -2 и x2 = 1.

Вычисляем знак второй производной в точках между точками перегиба и вне интервала [-2, 1] для определения промежутков выпуклости вверх и вниз:

1. Для x < -2: f''(x) = 12x^2 + 24x - 36 < 0, следовательно, функция f(x) выпукла вниз на этом промежутке.

2. Для -2 < x < 1: f''(x) = 12x^2 + 24x - 36 > 0, следовательно, функция f(x) выпукла вверх на этом промежутке.

3. Для x > 1: f''(x) = 12x^2 + 24x - 36 > 0, следовательно, функция f(x) выпукла вверх на этом промежутке.

Таким образом, промежутки выпуклости вверх: (-∞,-2), (1,+∞), а промежутки выпуклости вниз: (-2,1).

Answer 2

Ответ:

f(x) = x * 4 + 4 * 3 - 18x ^ 2 - x - 17

Перепишіть функцію

f(x) = - 18x ^ 2 + 3x - 5 Визначте коефіцієнти

a = - 18, b = 3

Підставте коефіцієнти у вираз

x = - 3/(2(- 18))

Розв'яжіть рівняння

x = 1/12

f(x) = x * 4 + 4 * 3 - 18x ^ 2 - x - 17, x = 1/12

Обчисліть значення функції

f(1/12) = - 39/8

Вершина (1/12, - 39/8)

Рішення

(1/12, - 39/8)

Answer 3

Чтобы определить промежутки выпуклости вверх (вниз) и точки перегиба функции \( f(x) = x^4 + 4x^3 - 18x^2 - x - 17 \), мы будем использовать вторую производную. Промежутки выпуклости и точки перегиба связаны с поведением второй производной.

1. Найдем первую производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = 4x^3 + 12x^2 - 36x - 1 \]

2. Теперь найдем вторую производную \( f''(x) \):

\[ f''(x) = 12x^2 + 24x - 36 \]

3. Найдем точки, где \( f''(x) = 0 \), так как это могут быть точки перегиба:

\[ 12x^2 + 24x - 36 = 0 \]

Решим это уравнение, например, используя квадратное уравнение или графический метод, чтобы найти значения \( x \).

4. После нахождения точек перегиба, рассмотрим интервалы между ними.

- Если \( f''(x) > 0 \) на каком-то интервале, то функция выпукла вверх на этом интервале. - Если \( f''(x) < 0 \) на каком-то интервале, то функция выпукла вниз на этом интервале.

5. Также определим значения \( f''(x) \) в найденных точках перегиба:

- Если \( f''(x) > 0 \) в точке перегиба, то это точка перегиба, где функция меняет свою выпуклость вверх. - Если \( f''(x) < 0 \) в точке перегиба, то это точка перегиба, где функция меняет свою выпуклость вниз.

Таким образом, анализируя знаки второй производной и значения в точках перегиба, мы сможем определить промежутки выпуклости вверх и вниз, а также точки перегиба функции \( f(x) = x^4 + 4x^3 - 18x^2 - x - 17 \).