Question

СРОЧНОО Знайдіть точку екстремуму функції: у= х⁴/2 - х²

Answer 1

Ответ:

Для определения точек экстремума функции необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю:

у' = 2х³ - 2х = 2х(х² - 1).

Точки экстремума находятся при x = 0, x = 1 и x = -1.

Для классификации точек экстремума нужно найти знаки второй производной функции в этих точках.

у'' = 6х² - 2.

у''(0) = -2 < 0, значит, в точке x = 0 находится максимум функции.

y''(1) = 4 > 0, значит, в точке x = 1 находится минимум функции.

y''(-1) = 4 > 0, значит, в точке x = -1 находится минимум функции.

Ответ: точка экстремума функции у = х⁴/2 - х² при х = 0 — это точка максимума.

Answer 2

Щоб знайти точку екстремуму функції \(y = \frac{x^4}{2} - x^2\), потрібно взяти похідну цієї функції за змінною \(x\) і прирівняти її до нуля.

Почнемо з визначення похідної:

\[y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^4}{2} - x^2\right)\]

Для обчислення похідної скористаємося правилами диференціювання:

1. Диференціювання константи \(c\) дає \(0\). 2. Диференціювання \(x^n\) (де \(n\) - константа) дає \(n \cdot x^{n-1}\).

Отже,

\[y' = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x^3 - 2 \cdot 2 \cdot x\]

Спростимо це вираз:

\[y' = 2x^3 - 4x\]

Тепер прирівняємо похідну до нуля і розв'яжемо рівняння:

\[2x^3 - 4x = 0\]

Виділімо спільний множник \(2x\):

\[2x(x^2 - 2) = 0\]

Це рівняння розкладається на два фактори:

1. \(2x = 0\), звідки отримуємо \(x = 0\). 2. \(x^2 - 2 = 0\), звідки отримуємо \(x = \pm \sqrt{2}\).

Отже, у нас є три можливі значення \(x\) для точок екстремуму: \(x = 0\), \(x = \sqrt{2}\) і \(x = -\sqrt{2}\). Тепер ми повинні визначити, чи є ці точки максимумом чи мінімумом, що вимагає використання другої похідної.

Візьмемо другу похідну:

\[y'' = \frac{d^2}{dx^2} (2x^3 - 4x)\]

Диференціюємо:

\[y'' = 6x^2 - 4\]

Тепер підставимо значення \(x\) у другу похідну:

1. Для \(x = 0\): \(y''(0) = -4\), отже, у точці \(x = 0\) функція має максимум. 2. Для \(x = \sqrt{2}\): \(y''(\sqrt{2}) = 14\), отже, у точці \(x = \sqrt{2}\) функція має мінімум. 3. Для \(x = -\sqrt{2}\): \(y''(-\sqrt{2}) = 14\), отже, у точці \(x = -\sqrt{2}\) функція має мінімум.

Отже, точка \((0, 0)\) є точкою максимуму, а точки \((\sqrt{2}, -1)\) і \((- \sqrt{2}, -1)\) є точками мінімуму для заданої функції.