Question

Спростити вираз: 1 − cos2α − sin2α

Answer 1

Ответ:

Заметим, что уравнение тригонометрической формулы $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ может быть переписано как $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ и $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
Подставляя эти уравнения в исходное выражение, получим:
$$1 - \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 1 + \sin^2\alpha - \sin^2\alpha = 0.$$
Таким образом, простейшей формой исходного выражения является число 0.

Answer 2

Да, конечно! Давайте упростим выражение \(1 - \cos(2\alpha) - \sin(2\alpha)\). Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Тригонометрическое тождество для косинуса двойного угла: \[ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \]

2. Тригонометрическое тождество для синуса двойного угла: \[ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

Теперь подставим эти тождества в исходное выражение:

\[ 1 - \cos(2\alpha) - \sin(2\alpha) \]

\[ = 1 - (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

Теперь раскроем скобки и упростим:

\[ = 1 - \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

Теперь объединим квадраты синуса и косинуса:

\[ = 1 - (\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

Так как \(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\) (это тождество Пифагора), подставим это значение:

\[ = 1 - 1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

\[ = -2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]

Таким образом, упрощенное выражение для \(1 - \cos(2\alpha) - \sin(2\alpha)\) равно \(-2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\).