Question

Решите уравнение а)2sinx-3cos^2x+2=0 б)5sin^2x-3sinxcosx-2cos^2x=0

Answer 1

$2sinx-3cos^2x+2=0\\2sinx-3+3sin^2x+2=0\\3sin^2x+2sinx-1=0\\sinx=u\\3u^2+2u-1=0\\D:4+12=16\\u=\frac{-2\pm4}{6}\\\\u_1=\frac{1}{3}\\sinx=\frac{1}{3}\\x=(-1)^narcsin\frac{1}{3}+\pi n, \; n\in Z;\\\\u_2=-1\\sinx=-1\\x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, \; n\in Z.$


$5sin^2x-3sinxcosx-2cos^2x=0|:cos^2x\\5tg^2x-3tgx-2=0\\tgx=u\\5u^2-3u-2=0\\D:9+40=49\\u=\frac{3\pm7}{10}\\\\u_1=1\\tgx=1\\x=\frac{\pi}{4}+\pi n, \; n\in Z;\\\\u_2=-\frac{2}{5}\\tgx=-\frac{2}{5}\\x=-arctg\frac{2}{5}+\pi n, \; n\in Z;\\\\cosx \neq 0\\x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n, \; n\in Z.$

Answer 2

Давайте решим уравнения по очереди:

a) 2sinx - 3cos^2x + 2 = 0

Для начала, давайте заменим sin^2x на 1 - cos^2x, используя тригонометрическую тождества:

2sinx - 3(1 - sin^2x) + 2 = 0

2sinx - 3 + 3sin^2x + 2 = 0

3sin^2x + 2sinx - 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно sinx. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:

sinx = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 3, b = 2 и c = -1. Подставляя значения, получим:

sinx = (-2 ± √(2^2 - 4 * 3 * -1)) / (2 * 3)

sinx = (-2 ± √(4 + 12)) / 6

sinx = (-2 ± √16) / 6

sinx = (-2 ± 4) / 6

Теперь найдем два значения sinx:

1) sinx = (-2 + 4) / 6 = 2 / 6 = 1 / 3

2) sinx = (-2 - 4) / 6 = -6 / 6 = -1

Используя обратные тригонометрические функции, мы можем найти значения x:

1) x = arcsin(1/3)

2) x = arcsin(-1)

b) 5sin^2x - 3sinxcosx - 2cos^2x = 0

Давайте заменим sin^2x на 1 - cos^2x, и cos^2x на 1 - sin^2x, используя тригонометрические тождества:

5(1 - cos^2x) - 3sinxcosx - 2(1 - sin^2x) = 0

5 - 5cos^2x - 3sinxcosx - 2 + 2sin^2x = 0

7sin^2x - 3sinxcosx - 5cos^2x + 3 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно sinx и cosx. В данном случае, решение намного сложнее, потому что нам нужно найти значения и для sinx, и для cosx. Если у вас есть какие-то ограничения на значения x, например, ограничение на отрезке [0, 2π], мы можем использовать графический метод или численные методы, чтобы найти приближенные решения. Если у вас есть какие-либо дополнительные ограничения или условия, пожалуйста, уточните, чтобы я мог предоставить более подробное решение.