Question

(2 бали). Доведіть, що вираз х² - 12x + 37 набуває лише додатних значень при всіх значеннях змінної х. Якого найменшо- го значення набуває цей вираз і при якому значенні х?

Answer 1

$x^{2}-12x+37=x^{2}-2*x*6+6^2+1=(x-6)^{2}+1$

Цей вираз є сумою квадрата деякого числа і одиниці, а значить він є додатній для всіх заченнях змінної $x$.

Мінімальне значення цього виразу досягається при $x=6$: $(6-6)^2+1=0+1=1$

Answer 2

Proof that the expression x² - 12x + 37 only takes positive values for all values of x:

To prove that the expression x² - 12x + 37 only takes positive values for all values of x, we can use the concept of completing the square.

Let's start by completing the square for the given expression:

x² - 12x + 37

To complete the square, we need to add and subtract the square of half the coefficient of x (which is -6 in this case):

x² - 12x + 37 = (x² - 12x + 36) + (37 - 36)

Simplifying further:

x² - 12x + 37 = (x - 6)² + 1

Now, we can see that the expression (x - 6)² is always non-negative because it is the square of a real number. Adding 1 to a non-negative number will always result in a positive number.

Therefore, the expression x² - 12x + 37 only takes positive values for all values of x.

Minimum value and corresponding value of x:

Since the expression x² - 12x + 37 only takes positive values for all values of x, it does not have a minimum value. Instead, it has a minimum value of 1, which occurs when the expression (x - 6)² is equal to 0.

To find the corresponding value of x, we can set (x - 6)² = 0 and solve for x:

(x - 6)² = 0

Taking the square root of both sides:

x - 6 = 0

Solving for x:

x = 6

Therefore, the expression x² - 12x + 37 has a minimum value of 1 and it occurs when x = 6.

Please let me know if you need any further clarification.