Question

Знайдіть усі точки мінімуму функції y=x^3 In x

Answer 1

Ответ:

Для знаходження точок мінімуму функції, потрібно спочатку знайти похідну цієї функції та розв'язати рівняння похідної рівній нулю.

Похідна функції y = x^3 ln(x) може бути знайдена за допомогою правила добутку та правила логарифмічної похідної:

y' = 3x^2 ln(x) + x^2 / x = 3x^2 ln(x) + x

Потім потрібно розв'язати рівняння y' = 0:

3x^2 ln(x) + x = 0

Звідси ми можемо виділити x:

x (3x ln(x) + 1) = 0

x = 0 або 3x ln(x) + 1 = 0

Перша частина рівняння дає нам одну можливу точку мінімуму, x = 0. Але, оскільки ln(0) не визначене, це не може бути точкою мінімуму.

Друга частина рівняння може бути розв'язана чисельно. Ми можемо використовувати метод Ньютона для знаходження коренів цього рівняння:

x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n])

де f(x) = 3x ln(x) + 1 і f'(x) = 3ln(x) + 3.

Починаючи з деякої початкової точки (наприклад, x = 1), ми можемо ітерувати цей метод до тих пір, поки x[n+1] - x[n] не стане менше заданої точності. Це дає нам другу точку мінімуму:

x ≈ 0.20885

Таким чином, є лише одна точка мінімуму для функції y = x^3 ln(x), а саме x ≈ 0.20885..

Answer 2

Щоб знайти всі точки мінімуму функції f(x) = x^3 + ln(x), ми спочатку визначимо похідну функції та знайдемо значення x, для яких похідна дорівнює нулю. Ці значення x будуть потенційними точками мінімуму.

Знаходження похідної функції

Похідна функції f(x) = x^3 + ln(x) буде сумою похідних кожного доданка. Давайте обчислимо похідні окремо:

Похідна функції x^3: f'(x) = 3x^2

Похідна функції ln(x): f'(x) = 1/x

Знаходження точок мінімуму

Тепер нам потрібно знайти значення x, для яких похідна f'(x) = 0. Це будуть потенційні точки мінімуму функції.

1. Похідна функції x^3: 3x^2 = 0 x^2 = 0 x = 0

2. Похідна функції ln(x): 1/x = 0 Ця рівність не має розв'язків, оскільки не можна поділити на нуль.

Таким чином, ми маємо одну потенційну точку мінімуму функції, яка відповідає значенню x = 0.

Перевірка точок мінімуму

Для перевірки, чи є ця точка мінімумом, ми можемо проаналізувати знаки похідної з обох боків від точки x = 0.

1. Похідна зліва від x = 0: f'(-1) = 3(-1)^2 = 3 > 0

2. Похідна справа від x = 0: f'(1) = 3(1)^2 = 3 > 0

Оскільки похідна функції є додатною як зліва, так і справа від x = 0, ця точка не є точкою мінімуму.

Отже, за функцією f(x) = x^3 + ln(x) немає точок мінімуму.