Question

СРОЧНО!!!!! у прямому трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки 4 і 21 см знайдіть радіус кола, якщо периметр трикутника дорінює 56 см

Answer 1

Ответ:

3 см

Объяснение:

Если окружность вписана в треугольник, то отрезки касательных, проведённых из одной точки будут равны.

AD=AE=21 см, BE=BF=4 см, CD=CF=r.

P=AB+BC+AC=(AE+BE)+(BF+CF)+(AD+CD)=(21+4)+(4+r)+(21+r)=56

50+2r=56

2r=6

r=3 см

Answer 2

Спершу розглянемо прямокутний трикутник, в якому вписано коло. Нехай цей трикутник має катети \(a\) і \(b\), а гіпотенуза має довжину \(c\). Тоді властивість вписаного кола стверджує, що точка дотику кола з гіпотенузою розбиває гіпотенузу на дві частини, довжини яких обернено пропорційні до відповідних катетів. Математично це можна виразити так:

\[\frac{c}{a} = \frac{b}{c-b}.\]

Ваше завдання - знайти радіус вписаного кола, тобто довжину від центру кола до точки дотику кола з гіпотенузою.

У вас дано, що гіпотенуза розбивається на відрізки 4 см і 21 см. Таким чином, \(a = 4\) см і \(b = 21\) см. Позначимо радіус кола як \(r\).

Підставимо відомі значення в наше рівняння:

\[\frac{c}{4} = \frac{21}{c-4}.\]

Тепер помножимо обидві сторони на \((c-4)\) для отримання:

\[c(c-4) = 4 \cdot 21.\]

Розгорнемо і спростимо:

\[c^2 - 4c = 84.\]

Тепер приведемо рівняння до квадратного виду:

\[c^2 - 4c - 84 = 0.\]

Розв'яжемо квадратне рівняння. Для цього можна використати квадратне рівняння або формулу дискримінанту. З формули дискримінанту маємо:

\[D = b^2 - 4ac.\]

У нашому випадку \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -84\). Підставимо:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 16 + 336 = 352.\]

Тепер можемо використати формулу коренів квадратного рівняння:

\[c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Підставимо значення:

\[c = \frac{4 \pm \sqrt{352}}{2}.\]

Розкладемо під корінь:

\[c = \frac{4 \pm 4\sqrt{22}}{2}.\]

Спростимо:

\[c = 2 \pm 2\sqrt{22}.\]

Тепер, оскільки гіпотенуза не може мати від'ємну довжину, виберемо позитивний корінь:

\[c = 2 + 2\sqrt{22}.\]

Отже, гіпотенуза має довжину \(c = 2 + 2\sqrt{22}\) см.

Тепер можемо знайти радіус кола. Знову використаємо властивість подібності трикутників:

\[\frac{c}{a} = \frac{b}{c-b}.\]

Підставимо відомі значення:

\[\frac{2 + 2\sqrt{22}}{4} = \frac{21}{2 + 2\sqrt{22} - 4}.\]

Розв'яжемо це рівняння для \(r\). Після спрощення маємо:

\[r = \frac{21}{2\sqrt{22}}.\]

Це є відповіддю на ваше завдання. Можливо, за бажанням, можна спростити це вираження, але така форма також є коректною.