Question

Знайти корені рівняння Sin10xsin2x=sin8xsin4x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

One way to solve this equation is to use the product-to-sum formula that states:

sin(a)sin(b) = (1/2)[cos(a-b)-cos(a+b)]

Using this formula, we can rewrite the left-hand side of the equation as:

sin(10x)sin(2x) = (1/2)[cos(10x-2x)-cos(10x+2x)] = (1/2)[cos(8x)-cos(12x)]

Similarly, the right-hand side of the equation becomes:

sin(8x)sin(4x) = (1/2)[cos(8x-4x)-cos(8x+4x)] = (1/2)[cos(4x)-cos(12x)]

Substituting these expressions back into the original equation, we get:

(1/2)[cos(8x)-cos(12x)] = (1/2)[cos(4x)-cos(12x)]

Simplifying and solving for cos(8x), we get:

cos(8x) = cos(4x)

Using the identity cos(a) = cos(-a), we can also write this as:

cos(8x-4x) = 1

Therefore, 8x-4x = 2πn, where n is an integer.

Solving for x, we get x = πn/2 + πm/4, where m and n are integers.

This means that the solutions to the original equation are all values of x that can be expressed in the form πn/2 + πm/4, where m and n are integers.

Answer 2

Ответ:

відповідь на фото! бажаю удачі!

Answer 3

Давайте розглянемо рівняння уважно і спробуємо знайти його корені. Ваше рівняння виглядає наступним чином:

\[ \sin(10x)\sin(2x) = \sin(8x)\sin(4x) \]

Ми можемо скористатися тригонометричними ідентичностями, щоб спростити це рівняння. Використовуючи тригонометричну ідентичність для добутку синусів:

\[ \sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)] \]

Ми можемо застосувати цю ідентичність до вашого рівняння:

\[ \frac{1}{2}[\cos(10x - 2x) - \cos(10x + 2x)] = \frac{1}{2}[\cos(8x - 4x) - \cos(8x + 4x)] \]

Після спрощення отримаємо:

\[ \cos(8x) = \cos(12x) \]

Тепер використаємо ідентичність для косинусів:

\[ \cos(A) = \cos(B) \implies A = \pm B + 2\pi k, \]

де \(k\) - це ціле число. Таким чином:

\[ 8x = \pm 12x + 2\pi k \]

Розглянемо обидві можливості:

1. \[ 8x = 12x + 2\pi k \] \[ 4x = 2\pi k \] \[ x = \frac{\pi k}{2} \]

2. \[ 8x = -12x + 2\pi k \] \[ 20x = 2\pi k \] \[ x = \frac{\pi k}{10} \]

Отже, корені рівняння \(\sin(10x)\sin(2x) = \sin(8x)\sin(4x)\) - це \(x = \frac{\pi k}{2}\) і \(x = \frac{\pi k}{10}\), де \(k\) - це ціле число.