Question

Упростите выражение:1 + tg3x - tg(60+ x) tgx. ​

Answer 1

Ответ:

Можно воспользоваться формулой тангенса разности для упрощения выражения:

tg(α-β) = (tgα - tgβ) / (1 + tgα tgβ)

Применим её к выражению tg(60+ x) tgx:

tg(60+ x) tgx = [tg(60+ x) - tgx + tgx] [tgx / (tg(60+ x) - tgx + tgx)] = [(tg60 tgx + tgx - tg60 tgx) / (1 + tg60 tgx)] [tgx / (tgx + tg(60+ x) - tgx)] = tgx

Теперь подставим это обратно в исходное выражение и упростим:

1 + tg3x - tg(60+ x) tgx = 1 + tg3x - tgx^2 = (1 - tgx^2) + tg3x = cos^2x + sin^2x + 2tgx / (1 - tg^2x) = (1 + tg^2x) + 2tgx / (1 - tg^2x) = (1 + tgx)^2 / (1 - tgx)

Ответ: (1 + tgx)^2 / (1 - tgx).

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций. Давайте посмотрим, как мы можем упростить данное выражение:

1. Используем тригонометрическое тождество: tg(a + b) = (tg(a) + tg(b)) / (1 - tg(a) * tg(b)).

Применяя это тождество ко всем слагаемым в выражении, мы получаем:

tg(3x) - tg(60 + x) + tg(x)

2. Заметим, что tg(60) = √3, так как tg(60 градусов) равно противоположному катету к гипотенузе, а в треугольнике равностороннем с углом 60 градусов все стороны равны, следовательно, противоположный катет равен гипотенузе, деленной на корень из 3.

3. Заменяем tg(60) на √3 и получаем:

tg(3x) - tg(x + 60) + tg(x)

4. Используем тригонометрическое тождество: tg(a + b) = (tg(a) + tg(b)) / (1 - tg(a) * tg(b)).

Применяя это тождество ко второму и третьему слагаемым в выражении, мы получаем:

tg(3x) - (tg(x) * tg(60) + tg(60) * tg(x)) / (1 - tg(x) * tg(60)) + tg(x)

5. Замечаем, что tg(60) = √3 и tg(x) / tg(x) = 1, поэтому выражение упрощается до:

tg(3x) - (2 * √3 * tg(x)) / (1 - √3 * tg(x)) + tg(x)

Таким образом, выражение tg(3x) - tg(60 + x) + tg(x) может быть упрощено до tg(3x) - (2 * √3 * tg(x)) / (1 - √3 * tg(x)) + tg(x).