Question

100 балів.Будь ласка допоможіть чи має функція стаціонарні точки(розгорнуте рішення) 1)f(x)=1/x 2)f(x)=2x-x²​

Answer 1

Функція f(x) = 1/x має одну стаціонарну точку у x=0.
Для знаходження цієї точки потрібно знайти значення похідної функції та розв'язати рівняння f'(x) = 0:
f(x) = 1/x
f'(x) = -1/x^2
-1/x^2 = 0
x = 0
Отже, точка x=0 є стаціонарною для функції f(x) = 1/x.
Функція f(x) = 2x - x^2 має одну стаціонарну точку у x=1.
Для знаходження цієї точки потрібно знайти значення похідної функції та розв'язати рівняння f'(x) = 0:
f(x) = 2x - x^2
f'(x) = 2 - 2x
2 - 2x = 0
x = 1
Отже, точка x=1 є стаціонарною для функції f(x) = 2x - x^2.
В обох випадках, для підтвердження, що ці точки є стаціонарними, можна також перевірити знак другої похідної в цих точках. Якщо друга похідна є додатною, то точка є точкою мінімуму, якщо від'ємною - то точкою максимуму. Якщо друга похідна дорівнює нулю, то тест другої похідної не допоможе визначити характер точки.

Answer 2

Функція f(x) = 1/x:

Щоб знайти стаціонарні точки функції f(x), ми повинні знайти значення x, при яких похідна f'(x) дорівнює нулю або не існує.

Спочатку обчислимо похідну функції f(x):

f(x) = 1/x

Використаємо правило диференціювання для функції f(x) = 1/x:

f'(x) = (-1/x^2)

Тепер прирівняємо похідну до нуля і розв'яжемо рівняння:

(-1/x^2) = 0

Це рівняння не має розв'язків, оскільки не існує жодного x, при якому (-1/x^2) = 0. Отже, функція f(x) = 1/x не має стаціонарних точок.

Функція f(x) = 2x - x^2:

Аналогічно, обчислимо похідну функції f(x):

f(x) = 2x - x^2

Використаємо правило диференціювання для функції f(x) = 2x - x^2:

f'(x) = 2 - 2x

Тепер прирівняємо похідну до нуля і розв'яжемо рівняння:

2 - 2x = 0

2x = 2

x = 1

Отримали розв'язок x = 1. Це єдине значення x, при якому похідна дорівнює нулю. Таким чином, функція f(x) = 2x - x^2 має одну стаціонарну точку, яка дорівнює (1, f(1)).

Щоб знайти значення f(1), підставимо x = 1 в початкове рівняння:

f(1) = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1

Таким чином, стаціонарна точка функції f(x) = 2x - x^2 знаходиться в точці (1, 1).

Отже, функція f(x) = 2x - x^2 має одну стаціонарну точку (1, 1).