Question

Якщо відкрити одночасно 2 труби то басейн наповниться за 8 годин. Якщо спочатку перша труба наповнить половину басейну, а потім друга наповнить другу половину то басейн буде наповнено за 18 годин, за скільки може наповнити цей басейн кожна труба окремо. Відповідь з поясненням і розв'язанням

Answer 1

Відповідь:

12 та 24 години

Пояснення:

перша труба наповнить басейн за х годин. за одну годину вона наповнює 1/х частину басейну
друга труба наповнить басейн за у годин. за одну годину вона наповнює 1/у частину басейну
одночасно дві труби за годину наповнюють 1/х+1/у басейну
одночасно дві труби наповнять басейн за  1/(1/х+1/у) = 8 годин
перша труба наповнить пів басейна за  (1/2)/(1/х) = х/2 годин
друга труба наповнить пів басейна за  (1/2)/(1/у) = у/2 годин
відомо що х/2+у/2=18 або х+у=36
1/(1/х+1/у) = 8
х+у=36
***********
х*у/(х+у) = 8
х+у=36
***********

х*у = 8*36=288
х+у=36
***********

х=36-у
(36-у)*у=288
***************
y^2-36y+288=0
у₁=12 ⇒ х₁=24
у₂=24 ⇒ х₂=12

Answer 2

Давайте позначимо об'єм басейну як V, а швидкість наповнення першої труби - x, а другої - y.

За умовою, коли відкриті обидві труби одночасно, басейн наповнюється за 8 годин:

\[8 \cdot (x + y) = V.\]

Коли спочатку наповнюється половина басейну першою трубою, а потім другою трубою наповнюється друга половина, час наповнення стає 18 годин:

\[18 \cdot y = V \text{ (для другої труби),}\] \[18 \cdot \frac{x}{2} = V \text{ (для першої труби).}\]

Звідси ми можемо виразити V у термінах x та y:

\[18y = V,\] \[9x = V.\]

Тепер ми можемо вирішити цю систему рівнянь. Для цього скористаємося виразами для V:

\[18y = 9x.\]

Розділимо обидві сторони на 9:

\[2y = x.\]

Отже, виразимо одну змінну через іншу. Наприклад, можемо виразити x через y:

\[x = 2y.\]

Тепер можемо підставити цей вираз у рівняння для часу наповнення обидвома трубами:

\[8 \cdot (2y + y) = 18y,\] \[8 \cdot 3y = 18y,\] \[24y = 18y.\]

Розділимо обидві сторони на 18:

\[y = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}.\]

Тепер знаємо, що друга труба наповнює басейн зі швидкістю \(y = \frac{4}{3}\) об'єму за годину. Підставимо це значення у одне з рівнянь, щоб знайти x:

\[9x = V,\] \[9x = 18 \cdot \frac{4}{3},\] \[9x = 24.\]

Розділимо обидві сторони на 9:

\[x = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}.\]

Отже, перша труба наповнює басейн зі швидкістю \(x = \frac{8}{3}\) об'єму за годину.

Отже, відповідь: перша труба наповнює басейн із швидкістю \(\frac{8}{3}\) об'єму за годину, а друга труба - зі швидкістю \(\frac{4}{3}\) об'єму за годину.