Question

Обчисліть інтеграл 1\4∫1\16 dx\корінь x

Answer 1

Ответ: 7/96.

Объяснение:

$\displaystyle\\\int\limits^{\frac{1}{4} }_{\frac{1}{16}} {\sqrt{x} } \, dx =\int\limits^{\frac{1}{4} }_{\frac{1}{16}} {(x)^\frac{1}{2} } \, dx =\frac{2}{3} *x^{\frac{3}{2}}\ |_{\frac{1}{16}}^{\frac{1}{4}} = \frac{2}{3}*((\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}} -(\frac{1}{16} )^{\frac{3}{2}}) =\frac{2}{3}*(\frac{1}{8} -\frac{1}{64})=\frac{7}{96}.$

Answer 2

Звісно, я допоможу вам обчислити цей інтеграл. Давайте подробно розберемося.

Ми маємо інтеграл:

\[ \frac{1}{4} \int_{1/16}^{1/4} \frac{dx}{\sqrt{x}} \]

Спочатку, можемо спростити вираз у підінтегральній функції:

\[ \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} \]

Тепер обчислимо інтеграл:

\[ \frac{1}{4} \int_{1/16}^{1/4} x^{-1/2} \, dx \]

Щоб обчислити цей інтеграл, зробимо підстановку \(u = \sqrt{x}\), отримаємо \(du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx\).

Замінимо змінну в інтегралі:

\[ \frac{1}{4} \int_{1/16}^{1/4} x^{-1/2} \, dx = \frac{1}{4} \int_{1/4}^{1/2} 2 \, du \]

Тепер можемо обчислити цей інтеграл:

\[ \frac{1}{4} \cdot 2 \left[ u \right]_{1/4}^{1/2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \]

Отже, обчислений інтеграл має значення \(\frac{1}{8}\).